论坛 › 难题征解 › 一道极限题

Cpy1531 发表于 2020-7-11 15:38:48

一道极限题

求极限$\lim_{ n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{ (n-k+1) \times(k+1)}}$.

northwolves 发表于 2020-7-15 18:34:13

猜测是0吧

n=1*10^8           1.424
n=2*10^8           0.924
n=3*10^8           0.779
n=4*10^8           0.708
n=5*10^8           0.633
n=6*10^8           0.529
n=7*10^8           0.488
n=8*10^8           0.458
n=9*10^8           0.435

mathe 发表于 2020-7-15 19:51:05

Let $A=(n+2)/2$,
求和式变为
$\sum_{k=1}^{n+1}\sqrt{ \frac1{(2A-k)k}}=\sum_{k=A-n-1}^{A-1} \sqrt{\frac1{(A-k)(A+k)}}=\frac1A \sum_{k=-A+1}^{A-1}\sqrt{ \frac1{(1-(\frac kA)^2)}}$
所以
$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n+1}\sqrt{ \frac1{(2A-k)k}}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=-A+1}^{A-1}\sqrt{ \frac1{(1-(\frac kA)^2)}}(\frac{k+1}A-\frac kA)=\int_{-1}^1 \sqrt{\frac1{1-x^2}} dx = \pi$

northwolves 发表于 2020-7-16 10:44:37

mathe 发表于 2020-7-15 19:51
Let $A=(n+2)/2$,
求和式变为
$\sum_{k=1}^{n+1} \frac1{(2A-k)k}=\sum_{k=A-n-1}^{A-1} \frac1{(A-k)(A ...

mathe 是不是少了一个根号？

mathe 发表于 2020-7-16 11:33:33

是的，输入少了根号

.·.·. 发表于 2020-7-16 11:40:10

northwolves 发表于 2020-7-16 10:44
mathe 是不是少了一个根号？

11:11:29> sums=0
%9 = 0
11:12:35> for(k=1,9*10^8+1,sums+=1./sqrt(k*(900000002-k)))
time = 8min, 21,741 ms.
11:21:12> sums
%11 = 3.1414952966226397409265413310040202102

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