lsr314 发表于 2020-7-23 18:48
我是硬算算出了前几项，然后得出一个公式
好的，谢谢！
目前感觉行列式的通项公式可能不太容易用简单的公式表示。
从目前的特例观察可以看出，行列式的通项公式应该关于n是指数增长，关于d是阶乘增长的。
现在可能更容易研究的是：证明$\det V(n,d)>0$。 或者证明$\det V(n,d)$关于$n$和$d$都是递增的。
这样就能证明矩阵$V(n,d)$的可逆性，如果能得到非构造方式的可逆性证明，就已经是很好的了。期待能看到更多新的idea和方法。
按0的位置和个数调整\(B(n,d)\) 的行顺序，我们可以把矩阵`V(n,d)`写成分块三角矩阵。进而得到如下公式:
\[ \det V(n,d) = \prod_{i=1}^{\min\{d,n\}} \left(\det \widetilde{V} (i,d) \right)^{n\choose i} \]
其中 \(\widetilde{V} (i,d) \) 是把`d`个小球放入`i`个盒子且每个盒子均不为空时的幂积矩阵。
需要证明`i=1,\ldots,\min\{d,n\}`时 `\det \widetilde{V} (i,d)>0.`
目前知道当`i=1,2,d-1,d`这四种情况下`\det \widetilde{V} (i,d)>0`是成立的，还需要证明其他情况。
lsr314 发表于 2020-7-23 18:48
我是硬算算出了前几项，然后得出一个公式
能否举个例子说明一下，例如d=4时`\det V(n,4)`的公式计算步骤？谢谢！
先定义$V(n,d)$:
f:=If
ff:=Product], v[]], {k, Length}]
V:=(
X=Table, {i, 1, n}];
g=X/.Solve==d && And@@NonNegative,X,Integers];
gg=Table, {s, g}, {t, g}];
FactorInteger])
然后算$V(n,d)$的前几个值：
Table, {n, 6}] // Column
最后求公式：
FindSequenceFunction[{8, 25, 56, 106, 180, 283}, n]
FindSequenceFunction[{0, 2, 6, 12, 20, 30}, n]
lsr314 发表于 2020-7-29 10:12
先定义$V(n,d)$:
power:=If;
PowerTimes:=Inner;(*定义幂积函数*)
B:=Module[{n0=n, d0=d},
order0:=FromDigits, d0 + 1];(*按0的分布取序号函数*)
Reverse@SortBy-1), order0]];(*生成按0的分布排序的组合矩阵*)
V:=Outer, B, 1];(*生成幂积矩阵——呈分块的三角矩阵*)
V(1,4)~V(4,4)
V(1,1)~V(4,3)
26#的程序运行结果证实了@mathe在16#的断言，和楼主在22#的公式。
在计算结果的启示下，也容易完成证明。
为了看清楚分块三角化，下面以V(4,4)为例进行了着色
问题转化为：
把$d\in \mathbb{N}^{\ast}$个小球放入$n\in \mathbb{N}^{\ast}$个箱子中(`d\ge n`, 箱子不可为空), 对应的幂积矩阵是否可逆？
hujunhua 发表于 2020-7-29 19:54
26#的程序运行结果证实了@mathe在16#的断言，和楼主在22#的公式。
在计算结果的启示下，也容易完成证明。
...
先在每个箱子放一个球，问题就变成原问题了