求证题
本帖最后由 王守恩 于 2020-12-2 20:25 编辑试证：\(\D\lim_{n\to\infty}\bigg(\sum_{k=A}^{n}\ \frac{1}{k}-\sum_{k=A}^{n/A}\ \frac{1}{k}\bigg)=\ln(A)\)
。 思路大概是把左边改成(ln(n)-eulergamma)-(ln(n/A)-eulergamma)+O(1/n)然后直接算得ln(A)+O(1/n)
为什么这种题目要写得这么复杂？ 本帖最后由 王守恩 于 2021-9-2 09:31 编辑
.·.·. 发表于 2020-12-2 23:14
思路大概是把左边改成(ln(n)-eulergamma)-(ln(n/A)-eulergamma)+O(1/n)然后直接算得ln(A)+O(1/n)
为什么这 ...
若 a,b 是正整数，且 a>b，试证：
\(\D\frac{b-1\ }{a-b\ }=\frac{b-1\ }{a+1\ }+\frac{(b-1)(b+1)\ \ }{(a+1)(a+3)\ \ }+\frac{(b-1)(b+1)(b+3)\ \ \ }{(a+1)(a+3)(a+5)\ \ \ }+\frac{(b-1)(b+1)(b+3)(b+5)\ \ \ \ }{(a+1)(a+3)(a+5)(a+7)\ \ \ \ }+......\)
本帖最后由 王守恩 于 2021-9-5 07:25 编辑
王守恩 发表于 2021-9-2 09:22
若 a,b 是正整数，且 a>b，试证：
\(\D\frac{b-1\ }{a-b\ }=\frac{b-1\ }{a+1\ }+\frac{(b-1)(b+1)\ ...
已知 a>b>0，试证：
\(\D\frac{b+1}{a-b}=\frac{b+1}{a+2}+\frac{(b+1)(b+2)\ \ }{(a+2)(a+3)\ \ }+\frac{(b+1)(b+2)(b+3)\ \ \ }{(a+2)(a+3)(a+5)\ \ \ }+\frac{(b+1)(b+2)(b+3)(b+5)\ \ \ \ }{(a+2)(a+3)(a+5)(a+8)\ \ \ \ }+......\)
已知 a>b>0，试证：
\(\D\frac{b+1}{a-b}=\frac{b+1}{a+1}+\frac{(b+1)(b+1)\ }{(a+1)(a+2)\ }+\frac{(b+1)(b+1)(b+2)\ \ }{(a+1)(a+2)(a+3)\ \ }+\frac{(b+1)(b+1)(b+2)(b+3)\ \ \ }{(a+1)(a+2)(a+3)(a+5)\ \ \ }+\frac{(b+1)(b+1)(b+2)(b+3)(b+5)\ \ \ \ }{(a+1)(a+2)(a+3)(a+5)(a+8)\ \ \ \ }+......\) 本帖最后由 王守恩 于 2021-9-6 07:34 编辑
王守恩 发表于 2021-9-5 07:16
已知 a>b>0，试证：
\(\D\frac{b+1}{a-b}=\frac{b+1}{a+2}+\frac{(b+1)(b+2)\ \ }{(a+2)(a+3)\ \ }+\fra ...
已知AD是△ABC的中线，则 \(AD^2=\frac{1}{2}AB^2+\frac{1}{2}AC^2-\frac{1}{4}BC^2\)
记\(AB=\sin(C)\ \ \ \ \ \AC=\sin(B)\ \ \ \ \ \ BC=\sin(B+C)\)
\(AD^2=\sin^2(C)+\frac{1}{4}\sin^2(B+C)-2\sin(C)\frac{1}{2}\sin(B+C)\cos(B)\ \ \ \ (1)\)
\(AD^2=\sin^2(B)+\frac{1}{4}\sin^2(B+C)-2\sin(B)\frac{1}{2}\sin(B+C)\cos(C)\ \ \ \ (2)\)
\(\frac{(1)+(2)}{2}\ \ \ \ AD^2=\frac{1}{2}\sin^2(C)+\frac{1}{2}\sin^2(B)-\frac{1}{4}\sin^2(B+C)\) 本帖最后由 王守恩 于 2021-9-8 10:18 编辑
王守恩 发表于 2021-9-6 07:12
已知AD是△ABC的中线，则 \(AD^2=\frac{1}{2}AB^2+\frac{1}{2}AC^2-\frac{1}{4}BC^2\)
记\(AB=\si ...
卡住了，求助各位。这是怎么来的？
\(\D\frac{\sin(a)\sin(b)\sin(a+b)+\sin(a+b)\sin(c)\sin(a+b+c)\ \ \ \ \ \ \ }{\sin(b)\sin(c)\sin(b+c)+\sin(a)\sin(b+c)\sin(a+b+c)\ \ \ \ \ \ \ }=1\) 本帖最后由 王守恩 于 2021-9-8 12:47 编辑
王守恩 发表于 2021-9-8 10:15
卡住了，求助各位。这是怎么来的？
\(\D\frac{\sin(a)\sin(b)\sin(a+b)+\sin(a+b)\sin(c)\sin(a+b+c)\ ...
补充角分线定理与梅氏定理的关系。
O是△ABC内的点， D在AO的延长线上， E在BO的延长线上;
\(∠A=a_{1}+a_{2},\ \ \ ∠B=b_{1}+b_{2}\)
由 \(\D\frac{AE*OB*\sin(a_{1})}{AB*OE*\sin(a_{2})}=1\Rightarrow\frac{AE*OB}{OE}=\frac{AB*\sin(a_{2})}{\sin(a_{1})}\ \ \ \ \ (1)\)
由 \(\D\frac{AB*DC*\sin(a_{2})}{AC*DB*\sin(a_{1})}=1\Rightarrow\frac{DC}{AC*DB}=\frac{\sin(a_{1})}{AB*\sin(a_{2})}\ \ \ \ \ (2)\)
(1)左边*(2)左边=(1)右边*(2)右边
\(\D\frac{AE*OB}{OE}*\frac{DC}{AC*DB}=\frac{AB*\sin(a_{2})}{\sin(a_{1})}*\frac{\sin(a_{1})}{AB*\sin(a_{2})}\Rightarrow\frac{AE*OB*DC}{AC*OE*DB}=1\)
同理。
由 \(\D\frac{BD*OA*\sin(b_{1})}{BA*OD*\sin(b_{2})}=1\Rightarrow\frac{BD*OA}{OD}=\frac{BA*\sin(b_{2})}{\sin(b_{1})}\ \ \ \ \ (3)\)
由 \(\D\frac{BA*EC*\sin(b_{2})}{BC*EA*\sin(b_{1})}=1\Rightarrow\frac{EC}{BC*EA}=\frac{\sin(b_{1})}{BA*\sin(b_{2})}\ \ \ \ \ (4)\)
(3)左边*(4)左边=(3)右边*(4)右边
\(\D\frac{BD*OA}{OD}*\frac{EC}{BC*EA}=\frac{BA*\sin(b_{2})}{\sin(b_{1})}*\frac{\sin(b_{1})}{BA*\sin(b_{2})}\Rightarrow\frac{BD*OA*EC}{BC*OD*EA}=1\) 本帖最后由 王守恩 于 2021-9-11 13:27 编辑
王守恩 发表于 2021-9-8 12:38
补充角分线定理与梅氏定理的关系。
O是△ABC内的点， D在AO的延长线上， E在BO的延长线上;
\(∠A=a_{1} ...
已知 a, b, c, n 是正整数，且 a, b, c 是不同的正整数，
试证：\(\D\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=n\) 无解。 可以科普一下吗？
\(\D\sum_{n=1}^{\infty}\ \frac{\sin^2(n)\ }{n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\ \frac{\sin(n)\ }{n}=\frac{\pi-1\ }{2}\) 本帖最后由 王守恩 于 2021-10-13 16:45 编辑
王守恩 发表于 2021-9-8 12:38
补充角分线定理与梅氏定理的关系。
O是△ABC内的点， D在AO的延长线上， E在BO的延长线上;
\(∠A=a_{1} ...
等腰三角形ABC的两边AB=AC，D和E在AB和BC的延长线上，
且\(\frac{DB}{DC}=\frac{EC}{EA}=\frac{1}{2}\) 证明△BDC相似于△CEA
1，在△ABC中，记∠ABC=a则
\(AB=AC=\sin(a)\ \ \ BC=\sin(2a)\)
2，在△BDC中，记∠BDC=b则
\(DB=\frac{\sin(2a)\sin(a)}{2\sin(b)}=\frac{\sin(2a)\sin(a-b)}{\sin(b)}\ \ \frac{\sin(a)}{2}=\sin(a-b)\ \ (1)\)
3，在△CEA中，记∠CEA=c则
\(EC=\frac{\sin(a)\sin(a)}{2\sin(c)}=\frac{\sin(a)\sin(a-c)}{\sin(c)}\ \ \ \ \frac{\sin(a)}{2}=\sin(a-c)\ \ \ (2)\)
4，综合(1),(2)，
\(\sin(a-b)=\sin(a-c)\Rightarrow b=c\Rightarrow\) △BDC相相似于△CEA