求助：高数中一个不等式的证明
请各位大虾指教，下述不等式如何证明：\int_0^{\pi/2}\sqrt(1+a*sin^2x)dx \ge \frac{\pi}{4}(1+\sqrt(1+a)) 这形式就是第二类椭圆积分啊 左边积分的几何意义为
短半轴b=1,长半轴等于$\sqrt{a+1}$的椭圆的周长的1/4 $(1+a*sin^2(x))(1+a*cos^2(x))>=(1+a)$
得到
$sqrt(1+a*sin^2(x))+sqrt(1+a*cos^2(x))>=1+sqrt(1+a)$
两边对x在区间$$积分,然后利用
$int_0^{pi/2}sqrt(1+a*sin^2(x))dx=int_0^{pi/2}sqrt(1+a*cos^2(x))dx$
可得结果. $(1+a*sin^2(x))(1+a*cos^2(x))>=(1+a)$
得到
$sqrt(1+a*sin^2(x))+sqrt(1+a*cos^2(x))>=1+sqrt(1+a)$
两边对x在区间$$积分,然后利用
$int_0^{pi/2}sqrt(1+a*sin^2(x))dx=int_0^{pi/2}sqrt(1+a*cos^2(x) ...
mathe 发表于 2009-9-19 11:57 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
佩服啊，佩服啊，不佩服都不行！！
谢谢mathe的高见！ :)
能给出积分的上限么,越小越好 $sqrt(1+x)<=1+x/2$
所以
$int_0^{pi/2}sqrt(1+asin^2x)dx<=int_0^{pi/2}(1+a/2sin^2x)dx=pi/2(1+a/4)$ 本帖最后由 wayne 于 2009-9-20 00:30 编辑
7# zed
我看到有一个答案是
$\frac{\pi }{6}(1+2\sqrt{a+1})$
不知道是怎么得到的 7# zed
我看到有一个答案是
$\frac{\pi }{6}(1+2\sqrt{a+1})$
不知道是怎么得到的
wayne 发表于 2009-9-20 00:08 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
用
mathe的方法，无需条件b<7a，就可得到上界\frac{\pi}{4}\sqrt(2(a^2+b^2)). 本帖最后由 wayne 于 2009-9-24 18:01 编辑
9# mathabc
在大范围的情况，b>7a或者b<a时，$\frac{\pi }{6}(a+2b)$最优。
当a<b<7a时，才是你给的答案最优。
标准情况下，a表示长半轴，b表示短半轴。
即a>b，所以$\frac{\pi }{6}(a+2b)$最优。
或者说，最优的解是 ：
$min{\frac{\pi }{6}(a+2b),\frac{\pi }{6}(2a+b)}$
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