majer 发表于 2021-3-10 18:25:03

可选项越出越少的（石头，剪刀，布）

你和另外一个人玩赌博式猜拳，共九局。
每局赢家得1元，输家损失1元，平局不得不失。杜绝全部盘完招数，语言心理战或慢半拍等作弊手段。

现在，主持人向你提供一个特权：充钱开黑钻特权。开了黑钻之后，你的对手在九局里，石头、剪刀、布，每个只能出3次。

例如，前三局对手都出了石头，则剩下六局里，ta只能选择出布或剪刀。

现在问：这个黑钻特权的价值上限是多少，或者说，开了黑钻之后，我的预期收益是多少？

KeyTo9_Fans 发表于 2021-3-10 21:08:06

和这道题的解法是类似的：

https://bbs.emath.ac.cn/thread-15410-1-1.html

就是用递推的方法，从0 0 0递推到3 3 3：

剩余石数 剩余布数 剩余剪数 期望收益
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 1 4/3
1 1 1 4/3
0 0 2 2
0 1 2 17/9
0 2 1 19/9
......
3 3 3 ？

现在没空做，等我有空再把中间的数据补上。

灵树 发表于 2021-3-13 18:18:51

开了黑钻连续出9个相同的剪刀石头布就可以至少赢3局，并且最后一局是可以完全预测对方出的结果。

KeyTo9_Fans 发表于 2021-8-13 02:32:07

预期收益是$1792/729\approx 2.45816$。

其他情况的预期收益是：
石数 剪数 布数 期望收益
0    0    0    0
1    1    1    4/3
2    2    2    160/81
3    3    3    1792/729
4    4    4    56320/19683
5    5    5    5125120/1594323
6    6    6    50692096/14348907
7    7    7    1481768960/387420489
8    8    8    42844291072/10460353203
9    9    9    409541017600/94143178827
10   10   10   35004979609600/7625597484987
11   11   11   992141136363520/205891132094649
12   12   12   9333185393459200/1853020188851841
13   13   13   262449173264072704/50031545098999707

这个数列尚未被OEIS收录。

对于更大的剩余数量$(n,n,n)$，期望收益约为$1.4658075357\sqrt{n-7/36}$。

这又很奇怪了，这个期望收益为啥是$\Theta(\sqrt{n})$级别的，而不是$\Theta(ln(n))$级别的呢？

是我的程序写错了，还是这题确实与步行过红绿灯的题：

https://bbs.emath.ac.cn/thread-17946-1-1.html

本质上是不一样的呢？

KeyTo9_Fans 发表于 2021-8-21 20:09:55

我的程序应该没错，这题确实应该是$\Theta(\sqrt{n})$级别的，

因为这道类似的题：

https://bbs.emath.ac.cn/thread-15410-1-1.html

mathe大神做出来的结果也是$\Theta(\sqrt{n})$级别的。

所以这样看来，应该是步行过红绿灯的博弈对手太弱，

他只是等概率地随机设定红绿灯的倒计时，

所以被玩家钻了空子，将期望损失从$\Theta(\sqrt{n})$级别降到了$\Theta(ln(n))$级别。
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