这道高中三角形题目如何做？
△ABC面积等于根号5，sin(A-B)=Sin(B)(3-4*Cos(A)) Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
(*海伦公式*)
heron:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt]
(*利用第一个正弦定理与余弦定理，简化第一个约束条件*)
aaa=TrigExpand-(3-4*Cos)*Sin]/.{Sin->a,Sin->b,Cos->(b^2+c^2-a^2)/(2*b*c),Cos->(a^2+c^2-b^2)/(2*a*c)};
bbb=Together//Numerator
(*得到目标函数*)
ff=c-x1*(bbb)-x2*(heron^2-5);
(*求解所有可能的极值点,实数范围内*)
ccc=Solve==0,{a,b,c,x1,x2},Reals]//FullSimplify//ToRadicals;
Grid
ddd=(ff/.ccc)//FullSimplify;
Grid[{ddd},Alignment->Left]
Maximize[{c,bbb==0&&heron==Sqrt&&a>=0&&b>=0&&c>=0},{a,b,c}]
Minimize[{c,bbb==0&&heron==Sqrt&&a>=0&&b>=0&&c>=0},{a,b,c}]//FullSimplify
我只会拉格朗日乘子法求解
求解结果
\[-a^2+b^2-3 b c+2 c^2\]
\[\begin{array}{lllll}
a\to -2 \sqrt{\frac{7}{5}} & b\to -3 \sqrt{\frac{2}{5}} & c\to -\sqrt{10} & \text{x1}\to -\frac{1}{2 \sqrt{10}} & \text{x2}\to -\frac{1}{2 \sqrt{10}} \\
a\to -2 \sqrt{\frac{7}{5}} & b\to 3 \sqrt{\frac{2}{5}} & c\to \sqrt{10} & \text{x1}\to \frac{1}{2 \sqrt{10}} & \text{x2}\to \frac{1}{2 \sqrt{10}} \\
a\to 2 \sqrt{\frac{7}{5}} & b\to -3 \sqrt{\frac{2}{5}} & c\to -\sqrt{10} & \text{x1}\to -\frac{1}{2 \sqrt{10}} & \text{x2}\to -\frac{1}{2 \sqrt{10}} \\
a\to 2 \sqrt{\frac{7}{5}} & b\to 3 \sqrt{\frac{2}{5}} & c\to \sqrt{10} & \text{x1}\to \frac{1}{2 \sqrt{10}} & \text{x2}\to \frac{1}{2 \sqrt{10}} \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{llll}
-\sqrt{10} & \sqrt{10} & -\sqrt{10} & \sqrt{10} \\
\end{array}\]
\[\left\{\sqrt{10},\left\{a\to 2 \sqrt{\frac{7}{5}},b\to 3 \sqrt{\frac{2}{5}},c\to \sqrt{10}\right\}\right\}\]
已知条件可以用A表示ctgB.而c^2正比ctgA+ctgB,替换ctgB得到仅含A的表达式。使用万能公式表示为tg(A/2)的函数可得出tg(A/2)=1/sqrt(5)时取最小值 mathe 发表于 2021-4-9 09:46
已知条件可以用A表示ctgB.而c^2正比ctgA+ctgB,替换ctgB得到仅含A的表达式。使用万能公式表示为tg(A/2)的函 ...
手写答案，拍张照片上来，那个3+4cosA，除不掉呀 mathe 发表于 2021-4-9 09:46
已知条件可以用A表示ctgB.而c^2正比ctgA+ctgB,替换ctgB得到仅含A的表达式。使用万能公式表示为tg(A/2)的函 ...
按照你的思路。
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
t1=Tan;
t2=Tan;
rule={Sin->2*t1/(1+t1^2),Cos->(1-t1^2)/(1+t1^2),Sin->2*t2/(1+t2^2),Cos->(1-t2^2)/(1+t2^2)}
aaa=TrigExpand-(3-4*Cos)*Sin]/.rule//Simplify
得到
\
而h/tanA+h/tanB=c,=>(h/tanA+h/tanB)*c=c^2
且h*c=2*根号5
然后搞成关于tan（A/2）的函数 mathematica 发表于 2021-4-9 11:17
按照你的思路。
得到
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
t1=Tan;
rule={Sin->2*t1/(1+t1^2),Cos->(1-t1^2)/(1+t1^2)}
aaa=TrigExpand-(3-4*Cos)*Sin]/.rule//Simplify
用这个或许更好一些
\ mathe 发表于 2021-4-9 09:46
已知条件可以用A表示ctgB.而c^2正比ctgA+ctgB,替换ctgB得到仅含A的表达式。使用万能公式表示为tg(A/2)的函 ...
我又换了一种思路
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
(*海伦公式*)
heron:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt]
(*利用第一个正弦定理与余弦定理，简化第一个约束条件*)
aaa=TrigExpand-(3-4*Cos)*Sin]/.{Sin->a,Sin->b,Cos->(b^2+c^2-a^2)/(2*b*c),Cos->(a^2+c^2-b^2)/(2*a*c)};
bbb=Together//Numerator
(*海伦公式面积，第二个约数条件*)
ccc=heron^2-5//FullSimplify
(*用c来表达出a b*)
Solve
求解结果
\[\begin{array}{ll}
a\to -\frac{\sqrt{2} \sqrt{9 c^4+9 \sqrt{c^2 \left(c^4-100\right)} c-200}}{5 c} & b\to \frac{3 c^3-2 \sqrt{c^6-100 c^2}}{5 c^2} \\
a\to \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 c^4+9 \sqrt{c^2 \left(c^4-100\right)} c-200}}{5 c} & b\to \frac{3 c^3-2 \sqrt{c^6-100 c^2}}{5 c^2} \\
a\to -\frac{\sqrt{2} \sqrt{9 c^4-9 \sqrt{c^2 \left(c^4-100\right)} c-200}}{5 c} & b\to \frac{3 c^3+2 \sqrt{c^6-100 c^2}}{5 c^2} \\
a\to \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 c^4-9 \sqrt{c^2 \left(c^4-100\right)} c-200}}{5 c} & b\to \frac{3 c^3+2 \sqrt{c^6-100 c^2}}{5 c^2} \\
\end{array}\]
再使得a b都有意义，因此根式下的函数需要大于等于0，
求解的结果是
\[\text{Reduce}\left\]
\[\text{Reduce}\left\]
\[\text{Reduce}\left\]
求解结果
\ mathematica 发表于 2021-4-15 11:09
我又换了一种思路
没想到能直接解出方程组
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