下面是常新德公式对于颜色数 m=4，各色珠子数分别是 1、1、1、3 时的计算程序代码：
m = 4; n = 1; n = 1; n = 1; n = 3; Subscript = \!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\\), \(i = 1\), \(m\)]\(n\)\);
Q = (Sum *(Subscript/d)!/\!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\\), \(i = 1\), \(m\)]\(\((
\*FractionBox[\(n\), \(d\)])\)!\)\), {d,
Divisors, n, n, n]]}])/Subscript[S,
n](*圆排列数*)
M = (\!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\\), \(i = 1\), \(m\)]\(\
\*FractionBox[\(n\), \(2\)]\\)\))!/\!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\\), \(i = 1\), \(m\)]\(\
\*FractionBox[\(n[
i]\), \(2\)]\!\)\)(*圆排列中的对称排列数，\n/2\
\表示取整 *)
\ = (Q + M)/2(*环排列数*)
\ = \(Q + M)/2\ (*环排列数取整*)
计算结果是Q=20， M=1，Φ=(Q+M)/2=21/2，取整后等于 10。
补充内容 (2021-7-9 09:30):
程序运行结果等于 10。与公式算的取整后结果相同。 本帖最后由 TSC999 于 2021-7-9 09:11 编辑
下面是用改正错误后的程序进行计算，并与常新德公式计算结果对比。有时二者完全相同，但有时二者不一样，需要判定是哪个有错。例如下面的例子：
下面是四色珠子，黄色 1 颗、蓝色 1 颗、绿色 2 颗、红色 3 颗。手串共由这 7 颗珠子穿成。
按程序计算，共有 30 种花色如下图所示。但是按照常新德的公式计算，却有 31 种花色。问题来了，是公式错了还是程序错了？
上图中有没有花色重复的？ 有没有遗漏的？
下面是程序计算和常新德公式计算，程序代码放在一起了。
有个疑问，公式计算中，算出了有 2 个圆排列是对称的，结果就折算成了 1 个环排列。我咋看不出哪个环排列是对称的？
Clear["Global`*"];
m = 4; n = 1; n = 1; n = 2; n = 3;
Subscript = \!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\\), \(i = 1\), \(m\)]\(n\)\);
ss = {}; (* 所有的方案数列表 *)
a = Permutations[{"黄", "蓝", "绿", "绿", "红", "红", "红"}, {Subscript[S,
n]}]; (* Subscript 个有重复元素的全排列 *)
L = Length; (* 共有多少种线排列？ *)
k = 0;
While[L > 0,
s = a[];(* 候选方案*)
ss = Append;
s1 = Reverse;(* 候选方案反排*)
Do] == s || a[] == s1, a[] = {}], {i, 2, L}]; (*
s 左移，s1右移之前，先筛一次 *)
Do; s1 = RotateRight; (* s 左移一位，并存到 s 中;
s1右移一位，并存到 s1 中*)
Do] == s || a[] == s1, a[] = {}], {i, 2, L}];
, {i, 1, Subscript - 1}]; (*
s每左移一位、s1每右移一位，与其余的比较，若有一个是相同的，将那个其余清空。共筛 Subscript 次 *)
a = DeleteCases; (* 去掉 a 中的所有空集 *)
a = Delete; (* 去掉 a 中的候选方案 a[] 后的 a 列表 *)
L = Length; (* 筛一轮后的 a 还有多少种线排列？ *)
k = k + 1;
If];
];
(*以下是按常新德公式计算*)
Q = Sum *(Subscript/d)!/\!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\\), \(i = 1\), \(m\)]\(\((
\*FractionBox[\(n\), \(d\)])\)!\)\), {d,
Divisors, n, n, n]]}]/Subscript(*圆排列数*)
M = (\!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\\), \(i = 1\), \(m\)]\(\
\*FractionBox[\(n\), \(2\)]\\)\))!/\!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\\), \(i = 1\), \(m\)]\(\
\*FractionBox[\(n\), \(2\)]\!\)\)(*圆排列中的对称排列数*)
\ = (Q + M)/2(*环排列数*)
上面程序运行结果是： 程序算出环排列数为 30，它们的具体排列方案见上图。常新德公式计算圆排列数为 Q = 60 种，其中对称排列的为M = 2 种，所以环排列数Φ =(Q+M)/2 = 31 种，比程序算的多了一种。
我看不出来存在 2 种对称的圆排列，如果有，它是什么模样的？ 黄珠 1 颗、蓝珠 1 颗、绿珠 2 颗、红珠 3 颗。它们的圆排列咋能有对称的呢？ 哪位网友发现有对称的，请告知一下。
补充内容 (2021-7-15 08:57):
最终发现程序没错，常新德公式也没错，错在我马虎了，没有认真看常新德老师的论文。各色珠子个数有奇有偶，若奇数个数大于 2 则 M=0，不存在对称圆排列，不用按公式计算了。当奇数个数是0、1、2 时才按公式计算。 本帖最后由 TSC999 于 2021-7-9 19:49 编辑
把一些计算结果汇总，放在一张表格中看，结论就一目了然了。
从下表可知，无论穿成手串的珠子颜色有几种，每一种颜色的珠子数目要么是奇数，要么是偶数，但是如果奇数多于 2 个，常新德公式计算结果就会出错。这一点，常老师在其论文中已有过说明。
结论就是：
① 本帖中的程序计算结果是可以信赖的。这个程序对于珠子数目中有多少个奇数没有限制。
② 常新德的公式尚存在一定缺陷，有继续进一步研究并对其进行修正的必要。这一项工作，有待大侠们去努力。 本帖最后由 TSC999 于 2021-7-12 07:24 编辑
据网友 “数学青年” 提供的信息， 民国时期我国著名的数学家和教育家傅种孙曾于 1942 年完全解决了这一问题， 即：
设有 \(m\) 种颜色的珠子，每种颜色分别有 \(n_1，n_2，…，n_m\) 颗，总共有 \(n = n_1+n_2+…+n_m \) 颗。若用这些珠子穿成一个圆环，问有多少种穿法?
从网上查到，现在武汉大学图书馆馆藏文献目录中仍有傅种孙教授的这篇论文，题目是A Problem on Non-sensed Cirular Permulations /武汉大学理科季刊 8 卷 1 期（1942 年）。英文标题的意思是一个关于无向循环排列的问题。
66 年后的 2008 年，国内常新德老师也发表了《有重复元素的圆排列和环排列的计数问题》，可惜他的公式解决问题不彻底，留了一个大尾巴待解决。
相信傅种孙是完全解决了的。如果有哪位网友方便去武汉大学，可到图书馆查阅一下这篇文献，发到这个论坛上来。
本帖最后由 TSC999 于 2021-7-15 09:13 编辑
今天这个帖子的问题可以彻底结束了。经编程试验知：
m = 4; n = 1; n = 1; n = 1;n = 3时，环排列数为 10 种,公式算为 10.5 种。公式算的对称圆排列为 1个，实际应当是 0 个。
m = 4; n = 1; n = 1; n = 2;n = 3时，环排列数为 30 种， 公式算为 31 种。公式算的对称圆排列为 2个， 实际应当是 0 个。
m = 4; n = 1; n = 1; n = 1;n = 2时，环排列数为6 种,公式算为 6.5 种。公式算的对称圆排列为 1个， 实际应当是 0 个。
m = 4; n = 1; n = 3; n = 3;n = 3时，环排列数为 840 种, 公式算为 843 种。公式算的对称圆排列为 6个，实际应当是 0 个。
m = 3; n = 1; n = 1; n = 3时，环排列数为 2 种, 公式算为 2.5 种。公式算的对称圆排列为 1个，实际应当是 0 个。
m = 3; n = 3; n = 3; n = 5时，环排列数为 420 种, 公式算为 426 种。公式算的对称圆排列为 12个，实际应当是 0 个。
m = 3; n = 1; n = 1; n = 1时，环排列数为 1 种, 公式算为 1.5 种。公式算的对称圆排列为 1个，实际应当是 0 个。
m = 3; n = 3; n = 3; n = 3时，环排列数为 94 种, 公式算为 97 种。公式算的对称圆排列为 6个，实际应当是 0 个。
m = 5; n = 1; n = 1; n = 1; n = 2; n = 2 时环排列数为 90 种, 公式算为 91 种。公式算的对称圆排列为 2个，实际应当是 0 个。
m = 5; n = 1; n = 1; n = 1; n = 2; n = 3 时环排列数为 210 种, 公式算为 211 种。公式算的对称圆排列为 2个，实际应当是 0 个。
m = 5; n = 1; n = 1; n = 2; n = 2; n = 3时环排列数为 840 种, 公式算为 843 种。公式算的对称圆排列为 6个，实际应当是 0 个。
m = 5; n = 1; n = 1; n = 1; n = 2; n = 2时环排列数为 90 种, 公式算为 91 种。公式算的对称圆排列为 2个，实际应当是 0 个。
这就说明，当各种颜色的珠子个数有奇有偶，而奇数个数多于两个时，对称圆排列是没有的，即此时 M=0，此时环排列的数目等于圆排列数目的一半。
而当奇数个数为 0、1、2 时，M 不等于 0，其值需要按公式计算，此时环排列的数目等于圆排列数目的一半再加上 M 的一半。
再回头看看常新德老师的论文，才发现人家已经把这个问题说明白了，而且论证了为什么奇数个数多于两个时，对称圆排列是不存的。见下图：
这就对了，主帖提出的疑问是不存在的，常新德的公式是完全正确的。
为什么奇数个数多于两个时，对称圆排列不存在，见原著中的证明：
折腾了好几天，最终证明是程序没有错，常新德公式也没有错。错在本人马虎了，没有认真阅读常新德老师的那篇论文。只是跑马观花地瞄了一眼。论文本身也有一点点小瑕疵，
如果多说一句话就好了——当奇数个数大于等于 3 时 M=0，此时按公式算出的 M 值不能用。小于等于 2 时才能按公式算 M。
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