来自知乎的一道題，題目我沒看懂
本帖最后由 ejsoon 于 2021-8-10 18:29 编辑https://www.zhihu.com/equation?tex=n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%2Ca_i%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%2C%E8%AF%81%E6%98%8E%3A%5Csum_%7Bi%2Cj%3D1%7D%5E%7Bn%7D%5Cfrac%7Ba_i+a_j%7D%7Bi%2Bj%7D%5Cge+0
aiaj是甚麼意思，我沒有看懂。請問各位大佬能否解答下？
補充原帖鏈接：有甚麼有趣的數學題
原帖解答：https://www.zhihu.com/equation?tex=%E8%AF%81%3A%5Csum_%7Bi%2Cj%3D1%7D%5E%7Bn%7D%5Cfrac%7Ba_i+a_j%7D%7Bi%2Bj%7D%3D%5Csum_%7Bi%2Cj%3D1%7D%5E%7Bn%7Da_i+a_j%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7Dx%5E%7Bi%2Bj-1%7Ddx%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Csum_%7Bi%2Cj%3D1%7D%5E%7Bn%7Da_i+a_jx%5E%7Bi%2Bj-1%7Ddx%3D%5C%5C%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Csum_%7Bi%2Cj%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28a_i+x%5E%7Bi-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%29%28a_jx%5E%7Bj-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%29dx%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Da_i+x%5E%7Bi-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%29%5E2dx%5Cge+0%2CQ.E.D $n=1$时，$\sum_{i,j=1}^n{a_ia_j}/{i+j}=a_1^2/2\ge0$,成立。
$n=2$时，$\sum_{i,j=1}^n{a_ia_j}/{i+j}=a_1^2/2+{2a_1a_2}/3+a_2^2/4=1/6(a_1+a_2)^2+1/12(2a_1+a_2)^2\ge0$,成立。
$n=3$时，$\sum_{i,j=1}^n{a_ia_j}/{i+j}=a_1^2/2+a_2^2/4+a_3^2/6+{2a_1a_2}/3+{2a_2a_3}/5+{2a_3a_1}/4=(?)^2+(?)^2+(?)^2\ge0$
对于一般情况，$\sum_{i,j=1}^n{a_ia_j}/{i+j}$的对称系数矩阵为\[\begin{bmatrix}
\frac12&\frac13&\frac14&...&\frac1{1+n}\\
\frac13&\frac14&\frac15&...&\frac1{2+n}\\
\frac14&\frac15&\frac16&...&\frac1{3+n}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\frac1{n+1}&\frac1{n+2}&\frac1{n+3}&...&\frac1{2n}
\end{bmatrix}\]问题就是要证明这是个半正定矩阵。 感謝樓上。
但是我不理解「矩陣」，「對稱系數」，「半正定」。
我可能先要去網上學習一下。大學的高數和綫數全部還給數老了。
不過我總算是明白aiaj是甚麼了。 知乎答案的第二步我沒看懂，好吧我好像應該先去學一下微積分。 看了原帖解答，感觉2#上当了，被明确的系数$1/{i+j}$带偏了。
因为这个系数完全可以一般化为$1/{b_i+b_j}$,只要`b_i+b_j>1`.
如果这个题目照着一般化的系数设为
已知：`a_1,a_2,...,a_n\in\mathbb{R},b_1,b_2,...,b_n>0`,试证明：$\sum_{i,j=1}^n{a_ia_j}/{b_i+b_j+1}>0$
我想不出2#那个方向有什么前途。
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