double的数据，进行数值计算的误差为什么不同？
提示：代码在最下方！matlab2015bcpui7-6700win10 64位家庭版A矩阵
1 1
2 -1
-2 4
b向量
1
2
7
现在要求Ax=b的近似解
第一种方法x=(\(A^{T }\)A)\(^{-1}\)\(A^{T}\)b
求出x1=
1
2
第二种方法对A进行QR分解得到Q=
1/32/3
2/31/3
-2/32/3
Qx=b
x=Q'b
x2=
-3
6
两种方法得到的近似解x虽然不同，但是得到的近似值(b在A空间的投影=b在Q空间的投影)应该一样！
但是实际在matlab中计算Ax1=
ans =
3
1/4503599627370496
6
Qx2=
ans =
3
0
6
以下是各变量在内存中的数值和数据类型。其中y是对应的上文中的x2 ， x对应上文中的x1，不必在意A和Q本身是宽矩阵还是窄矩阵，在matlab中运算时都进行了适当的转置。要不然投影计算结果也不会仅仅是细微的误差。
计算之前使用了format rat命令，我以为这样可以提高计算精度。但是没想到是这样的结果。很想知道产生误差的原因，为什么Ax1 计算结果的第二项会得到 1/4503599627370496而不是0，但是第二种方法就可以得到0。我看数据类型都是double
说起来Q矩阵里面存的还都是小数，直觉上计算误差应该更大一些。为什么？
说起来A‘x1的第二项进行的就是1*2+2*(-1)这样的运算。我在matlab中直接计算也可以得到0。就很奇怪！
下方代码中用的变量于截图中的变量名不同。但是可以复现出同样的误差。！
方法1代码
A=;
b=;
b=b'
A=A';
B=inv(A'*A);
x=B*A'*b
p=A*x
方法2代码
Q=;
b=;
b=b';
x=Q*b
p=Q'*x > factor(4503599627370496)
cpu time = 1 ms, real time = 7 ms.
%1 =
明显是计算时候产生了舍入误差 .·.·. 发表于 2021-10-19 14:50
> factor(4503599627370496)
cpu time = 1 ms, real time = 7 ms.
%1 =
确实产生了舍入误差。但是为什么两种算法误差不一样。其实是可以说清楚的。
可能问题出在inv上。
页:
[1]