将正整数拆分成5个不全相等的正整数相加,有几种不同的拆分法？
将正整数 n 拆分成 5 个不全相等的正整数相加，有a(n)种不同的拆分法。例子
a(06)=01: (1,1,1,1,2)
a(07)=02: (1,1,1,1,3),(1,1,1,2,2)
a(08)=03: (1,1,1,1,4),(1,1,1,2,3),(1,1,2,2,2)
a(09)=05: (1,1,1,1,5),(1,1,1,2,4),(1,1,1,3,3),(1,1,2,2,3),(1,2,2,2,2)
a(10)=06: (1,1,1,1,6),(1,1,1,2,5),(1,1,1,3,4),(1,1,2,2,4),(1,1,2,3,3),(1,2,2,2,3)
a(11)=10: (1,1,1,1,7),(1,1,1,2,6),(1,1,1,3,5),(1,1,1,4,4),(1,1,2,2,5),(1,1,2,3,4),(1,1,3,3,3),(1,2,2,2,4),(1,2,2,3,3),(2,2,2,2,3)
a(12)=13: (1,1,1,1,8),(1,1,1,2,7),(1,1,1,3,6),(1,1,1,4,5),(1,1,2,2,6),(1,1,2,3,5),(1,1,2,4,4),(1,1,3,3,4),(1,2,2,2,5),(1,2,2,3,4),(1,2,3,3,3),(2,2,2,2,4),(2,2,2,3,3)
就这么简单的一串数，在《整数序列在线百科全书(OEIS)》好像找不到。
本帖最后由 王守恩 于 2021-11-1 15:08 编辑
挑战一下：做题目的最高境界，一次到位，还敢有吗？！
2，将正整数 n 拆分成 2 个不全相等的正整数相加，有a(n)种不同的拆分法。
a(n)=CoefficientList\(\bigg[\)Series\(\bigg[\)\(\D\prod_{i=1}^2\frac{1}{1-x^i},(x,0,n)\bigg],x\bigg]+\bigg\lceil\frac{n_{2}}{2}\bigg\rceil-1\) n=2,3,4,5,......
{0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16,
3，将正整数 n 拆分成 3 个不全相等的正整数相加，有a(n)种不同的拆分法。
a(n)=CoefficientList\(\bigg[\)Series\(\bigg[\)\(\D\prod_{i=1}^3\frac{1}{1-x^i},(x,0,n)\bigg],x\bigg]+\bigg\lceil\frac{n_{3}}{3}\bigg\rceil-1\) n=3,4,5,6,......
{0, 1, 2, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 14, 16, 18, 21, 24, 26, 30, 33, 36, 40, 44, 47, 52, 56, 60, 65, 70, 74, 80,
4，将正整数 n 拆分成 4 个不全相等的正整数相加，有a(n)种不同的拆分法。
a(n)=CoefficientList\(\bigg[\)Series\(\bigg[\)\(\D\prod_{i=1}^4\frac{1}{1-x^i},(x,0,n)\bigg],x\bigg]+\bigg\lceil\frac{n_{4}}{4}\bigg\rceil-1\) n=4,5,6,7,......
{0, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 11, 14, 18, 23, 27, 33, 39, 47, 54, 63, 72, 84, 94, 107, 120, 136, 150, 168, 185, 206,
5，将正整数 n 拆分成 5 个不全相等的正整数相加，有a(n)种不同的拆分法。
a(n)=CoefficientList\(\bigg[\)Series\(\bigg[\)\(\D\prod_{i=1}^5\frac{1}{1-x^i},(x,0,n)\bigg],x\bigg]+\bigg\lceil\frac{n_{5}}{5}\bigg\rceil-1\) n=5,6,7,8,......
{0, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 13, 18, 23, 29, 37, 47, 57, 70, 83, 101, 119, 141, 164, 191, 221, 255, 291, 333, 376,
6，将正整数 n 拆分成 6 个不全相等的正整数相加，有a(n)种不同的拆分法。
a(n)=CoefficientList\(\bigg[\)Series\(\bigg[\)\(\D\prod_{i=1}^6\frac{1}{1-x^i},(x,0,n)\bigg],x\bigg]+\bigg\lceil\frac{n_{6}}{6}\bigg\rceil-1\) n=6,7,8,9,......
{0, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 14, 20, 26, 35, 44, 57, 71, 90, 110, 136, 163, 198, 235, 282, 331, 391, 454, 531, 612,
7，将正整数 n 拆分成 7 个不全相等的正整数相加，有a(n)种不同的拆分法。
a(n)=CoefficientList\(\bigg[\)Series\(\bigg[\)\(\D\prod_{i=1}^7\frac{1}{1-x^i},(x,0,n)\bigg],x\bigg]+\bigg\lceil\frac{n_{7}}{7}\bigg\rceil-1\) n=7,8,9,10,......
{0, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 14, 21, 28, 38, 49, 65, 82, 104, 131, 164, 201, 248, 300, 364, 435, 522, 618, 733, 860,
8，将正整数 n 拆分成 8 个不全相等的正整数相加，有a(n)种不同的拆分法。
a(n)=CoefficientList\(\bigg[\)Series\(\bigg[\)\(\D\prod_{i=1}^8\frac{1}{1-x^i},(x,0,n)\bigg],x\bigg]+\bigg\lceil\frac{n_{8}}{8}\bigg\rceil-1\) n=8,9,10,11,......
{0, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 21, 29, 40, 52, 70, 89, 116, 146, 185, 230, 288, 352, 434, 525, 638, 764, 918, 1090,
9，将正整数 n 拆分成 9 个不全相等的正整数相加，有a(n)种不同的拆分法。
a(n)=CoefficientList\(\bigg[\)Series\(\bigg[\)\(\D\prod_{i=1}^9\frac{1}{1-x^i},(x,0,n)\bigg],x\bigg]+\bigg\lceil\frac{n_{9}}{9}\bigg\rceil-1\) n=9,10,11,12,......
{0, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 29, 41, 54, 73, 94, 123, 157, 201, 252, 317, 393, 488, 598, 732, 887, 1076, 1291,
就这么些数字串，可是在《整数序列在线百科全书(OEIS)》找不到的。
实际上这与n的拆分数直接相关联。不全相等，无非就是排除了n是5的倍数时的一种表法。其余n值不受影响。所以就是把n拆成5份的表法数。 本帖最后由 白新岭 于 2021-11-6 06:48 编辑
也就是\(X_1+2X_2+3X_3+4X_4+5X_5\)=N的非负整数解组数，进一步，先把每个未知数的值都给个初始值1，则可以变成\(X_1+2X_2+3X_3+4X_4+5X_5\)=N+25的正整数解组数问题，根据4个不同正整数之和为N的表法数公式，可以推测出，它的公式解（即多项式公式）形式为:\(at^4+bt^3+ct^2+dt+e\),循环周期=1*2*3*4*5*5=600，也就是说，n值变化600次后，回到初始位置，因为循环周期过长，可能Excel解决有点难度，主要是数值太大，不一定求出系数的确切值来。
不过，600*600,600*600，..用五次600方格，也可以获得，需用2007年版的Excel了，前边的600*600方格，是把方程中的变量用加法结合律及交换律处理的，1+2为一组，3+4为一组，再结合，最后用结果与+5结合，也可以1+5,2+4，（1+5）+（2+4），[（1+5）+（2+4）]+3,都是2元处理法，括号中作为整体处理，相当于群论中的置换群，即替代关系。 把一个数分成5个正整数之和的形式，无序，则4个数是自变量，只有一个数是从变量，所以是个最高4次的多项式表达式，它里边有个常数需要获得，所以需要5个联立方程组，这就是最小循环周期为5的原因，考虑到无序，就有了大小关系，大小关系，一般提现在未知数前的系数上，1,2,3,4,5，它们的最小公倍数为5!=120,所以循环周期=5*120=600，即多项式解组数表达式，需要600个。600完成一次循环。
这与中国剩余定理也是相关联的，还有群论中的替换，3x+4y=1000时，如果x1，y1是一组解，则下一组解，n值需要过12个后才有解，也就是x需增4，y值可减3,3与4的最小公倍数为12. 王守恩 发表于 2021-11-1 14:56
挑战一下：做题目的最高境界，一次到位，还敢有吗？！
2，将正整数 n 拆分成 2 个不全相等的正整数相加 ...
如果，王守恩先生能给出前6百个n值的具体解组数，原则上，可以给出任意n值的多项式公式表达式。 本帖最后由 王守恩 于 2021-11-6 09:52 编辑
白新岭 发表于 2021-11-6 07:15
如果，王守恩先生能给出前6百个n值的具体解组数，原则上，可以给出任意n值的多项式公式表达式。
谢谢白新岭！将正整数 n 拆分成 5 个不全相等的正整数相加，有a(n)种不同的拆分法。
例子
a(06)=01: (1,1,1,1,2)
a(07)=02: (1,1,1,1,3),(1,1,1,2,2)
a(08)=03: (1,1,1,1,4),(1,1,1,2,3),(1,1,2,2,2)
a(09)=05: (1,1,1,1,5),(1,1,1,2,4),(1,1,1,3,3),(1,1,2,2,3),(1,2,2,2,2)
a(10)=06: (1,1,1,1,6),(1,1,1,2,5),(1,1,1,3,4),(1,1,2,2,4),(1,1,2,3,3),(1,2,2,2,3)
a(11)=10: (1,1,1,1,7),(1,1,1,2,6),(1,1,1,3,5),(1,1,1,4,4),(1,1,2,2,5),(1,1,2,3,4),(1,1,3,3,3),(1,2,2,2,4),(1,2,2,3,3),(2,2,2,2,3)
a(12)=13: (1,1,1,1,8),(1,1,1,2,7),(1,1,1,3,6),(1,1,1,4,5),(1,1,2,2,6),(1,1,2,3,5),(1,1,2,4,4),(1,1,3,3,4),(1,2,2,2,5),(1,2,2,3,4),(1,2,3,3,3),(2,2,2,2,4),(2,2,2,3,3)
{1, 2, 3, 5, 6, 10, 13, 18, 23, 29, 37, 47, 57, 70, 83, 101, 119, 141, 164, 191, 221, 255, 291, 333, 376, 427, 480, 540, 603, 673, 748, 831, 918,
1014, 1114, 1226, 1342, 1469, 1602, 1746, 1898, 2062, 2233, 2418, 2610, 2818, 3034, 3266, 3507, 3764, 4033, 4319, 4616, 4932, 5259, 5608,
5969, 6351, 6747, 7165, 7599, 8056, 8529, 9027, 9541, 10083, 10642, 11229, 11835, 12469, 13125, 13811, 14518, 15257, 16018, 16814, 17633,
18487, 19366, 20281, 21224, 22204, 23212, 24260, 25336, 26455, 27604, 28796, 30020, 31288, 32591, 33940, 35324, 36756, 38224, 39744, 41301,
42910, 44559, 46261, 48006, 49806, 51649, 53550, 55495, 57501, 59553, 61667, 63829, 66054, 68331, 70673, 73067, 75529, 78044, 80631, 83273,
85987, 88759, 91605, 94512, 97495, 100540, 103664, 106851, 110121, 113456, 116875, 120362, 123934, 127578, 131310, 135114, 139009, 142978,
147042, 151182, 155418, 159733, 164146, 168642, 173238, 177918, 182702, 187571, 192548, 197613, 202787, 208052, 213428, 218899, 224484,
230165, 235963, 241859, 247877, 253995, 260236, 266581, 273051, 279629, 286335, 293150, 300097, 307155, 314349, 321657, 329103, 336666,
344369, 352194, 360162, 368253, 376491, 384854, 393369, 402012, 410808, 419736, 428820, 438040, 447419, 456936, 466616, 476436, 486424,
496555, 506856, 517304, 527924, 538696, 549644, 560745, 572026, 583463, 595085, 606866, 618834, 630965, 643286, 655775, 668457, 681309}
就这么简单的一串数，在《整数序列在线百科全书(OEIS)》好像找不到。
说明：5没有，4是有的。将正整数 n 拆分成 4 个不全相等的正整数相加，有a(n)种不同的拆分法。A331444(2020 年 1 月 22 日)
1, 2, 3, 4, 6, 9, 11, 14, 18, 23, 27, 33, 39, 47, 54, 63, 72, 84, 94, 107, 120, 136, 150, 168, 185, 206, 225, 248, 270, 王守恩 发表于 2021-11-6 09:40
谢谢白新岭！将正整数 n 拆分成 5 个不全相等的正整数相加，有a(n)种不同的拆分法。
例子
a(06)=01:...
自然数 统计1至5 王守恩 出入
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0
8 0
9 0
10 0
11 0
12 0
13 0
14 0
15 1 0 1
16 1 1 0
17 2 2 0
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20 7 6 1
21 10 10 0
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27 47 47 0
28 57 57 0
29 70 70 0
30 84 83 1
31 101 101 0
32 119 119 0
33 141 141 0
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40 377 376 1
41 427 427 0
42 480 480 0
43 540 540 0
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45 674 673 1
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47 831 831 0
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49 1014 1014 0
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52 1342 1342 0
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54 1602 1602 0
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56 1898 1898 0
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58 2233 2233 0
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63 3266 3266 0
64 3507 3507 0
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66 4033 4033 0
67 4319 4319 0
68 4616 4616 0
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72 5969 5969 0
73 6351 6351 0
74 6747 6747 0
75 7166 7165 1
76 7599 7599 0
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129 75529 75529 0
130 78045 78044 1
131 80631 80631 0
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133 85987 85987 0
134 88759 88759 0
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140 106852 106851 1
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157 173238 173238 0
158 177918 177918 0
159 182702 182702 0
160 187572 187571 1
161 192548 192548 0
162 197613 197613 0
163 202787 202787 0
164 208052 208052 0
165 213429 213428 1
166 218899 218899 0
167 224484 224484 0
168 230165 230165 0
169 235963 235963 0
170 241860 241859 1
171 247877 247877 0
172 253995 253995 0
173 260236 260236 0
174 266581 266581 0
175 273052 273051 1
176 279629 279629 0
177 286335 286335 0
178 293150 293150 0
179 300097 300097 0
180 307156 307155 1
181 314349 314349 0
182 321657 321657 0
183 329103 329103 0
184 336666 336666 0
185 344370 344369 1
186 352194 352194 0
187 360162 360162 0
188 368253 368253 0
189 376491 376491 0
190 384855 384854 1
191 393369 393369 0
192 402012 402012 0
193 410808 410808 0
194 419736 419736 0
195 428821 428820 1
196 438040 438040 0
197 447419 447419 0
198 456936 456936 0
199 466616 466616 0
200 476437 476436 1
201 486424 486424 0
202 496555 496555 0
203 506856 506856 0
204 517304 517304 0
205 527925 527924 1
206 538696 538696 0
207 549644 549644 0
208 560745 560745 0
209 572026 572026 0
210 583464 583463 1
211 595085 595085 0
212 606866 606866 0
213 618834 618834 0
214 630965 630965 0
215 643287 643286 1
216 655775 655775 0
217 668457 668457 0
218 681309 681309 0
219 694359
220 707582
221 721006
222 734607
223 748413
224 762399
225 776594
226 790972
227 805563
228 820341
229 835335
230 850520
231 865925
232 881524
233 897347
234 913368
235 929617
236 946067
237 962749
238 979636
239 996759
240 1014091
241 1031662
242 1049446
243 1067474
244 1085718
245 1104210
246 1122922
247 1141886
248 1161074
249 1180518
250 1200190
251 1220122
252 1240286
253 1260714
254 1281378
255 1302311
256 1323483
257 1344928
258 1366617
259 1388583
260 1410797
261 1433292
262 1456039
263 1479072
264 1502361
265 1525940
266 1549779
267 1573913
268 1598311
269 1623008
270 1647974
271 1673243
272 1698785
273 1724635
274 1750762
275 1777202
276 1803923
277 1830961
278 1858285
279 1885931
280 1913867
281 1942129
282 1970686
283 1999574
284 2028761
285 2058284
286 2088110
287 2118277
288 2148752
289 2179572
290 2210705
291 2242188
292 2273988
293 2306143
294 2338620
295 2371457
296 2404620
297 2438148
298 2472007
299 2506236
300 2540801
301 2575740
302 2611020
303 2646680
304 2682685
305 2719075
306 2755815
307 2792945
308 2830430
309 2868310
310 2906550
311 2945190
312 2984195
313 3023605
314 3063385
315 3103576
316 3144141
317 3185122
318 3226483
319 3268265
320 3310432
321 3353025
322 3396008
323 3439423
324 3483233
325 3527480
326 3572127
327 3617217
328 3662712
329 3708655
330 3755009
331 3801816
332 3849039
333 3896721
334 3944824
335 3993392
336 4042386
337 4091850
338 4141746
339 4192118
340 4242927
341 4294217
342 4345950
343 4398170
344 4450838
345 4503999
346 4557613
347 4611726
348 4666298
349 4721374
350 4776915
351 4832966
352 4889487
353 4946524
354 5004037
355 5062072
356 5120588
357 5179632
358 5239163
359 5299228
360 5359786
361 5420883
362 5482479
363 5544621
364 5607267
365 5670465
366 5734173
367 5798439
368 5863221
369 5928567
370 5994435
371 6060873
372 6127839
373 6195381
374 6263457
375 6332116
376 6401314
377 6471101
378 6541434
379 6612362
380 6683842
381 6755923
382 6828562
383 6901809
384 6975620
385 7050045
386 7125040
387 7200656
388 7276848
389 7353667
390 7431069
391 7509104
392 7587728
393 7666992
394 7746851
395 7827357
396 7908464
397 7990224
398 8072592
399 8155620
400 8239262
401 8323570
402 8408499
403 8494101
404 8580330
405 8667239
406 8754781
407 8843010
408 8931879
409 9021441
410 9111650
411 9202559
412 9294121
413 9386390
414 9479319
415 9572962
416 9667271
417 9762301
418 9858004
419 9954435
420 10051546
421 10149391
422 10247923
423 10347197
424 10447164
425 10547880
426 10649296
427 10751468
428 10854347
429 10957989
430 11062345
431 11167471
432 11273318
433 11379942
434 11487294
435 11595431
436 11704302
437 11813965
438 11924370
439 12035574
440 12147527
441 12260286
442 12373801
443 12488130
444 12603222
445 12719135
446 12835818
447 12953330
448 13071619
449 13190744
450 13310654
451 13431407
452 13552952
453 13675348
454 13798543
455 13922597
456 14047457
457 14173183
458 14299723
459 14427137
460 14555372
461 14684488
462 14814433
463 14945267
464 15076937
465 15209504
466 15342914
467 15477229
468 15612395
469 15748473
470 15885410
471 16023267
472 16161990
473 16301641
474 16442166
475 16583627
476 16725969
477 16869255
478 17013430
479 17158557
480 17304581
481 17451564
482 17599452
483 17748308
484 17898076
485 18048820
486 18200484
487 18353132
488 18506708
489 18661276
490 18816780
491 18973284
492 19130732
493 19289188
494 19448596
495 19609021
496 19770405
497 19932814
498 20096191
499 20260601
500 20425987
501 20592414
502 20759825
503 20928286
504 21097739
505 21268250
506 21439761
507 21612339
508 21785925
509 21960586
510 22136264
511 22313025
512 22490811
513 22669689
514 22849600
515 23030612
516 23212665
517 23395827
518 23580039
519 23765369
520 23951757
521 24139271
522 24327852
523 24517568
524 24708359
525 24900294
526 25093312
527 25287483
528 25482746
529 25679170
530 25876695
531 26075390
532 26275194
533 26476177
534 26678278
535 26881567
536 27085982
537 27291594
538 27498341
539 27706294
540 27915391
541 28125702
542 28337166
543 28549854
544 28763703
545 28978785
546 29195037
547 29412531
548 29631204
549 29851128
550 30072240
551 30294612
552 30518181
553 30743019
554 30969063
555 31196386
556 31424923
557 31654748
558 31885797
559 32118143
560 32351722
561 32586607
562 32822734
563 33060177
564 33298871
565 33538890
566 33780169
567 34022783
568 34266666
569 34511893
570 34758399
571 35006258
572 35255405
573 35505915
574 35757722
575 36010902
576 36265388
577 36521256
578 36778440
579 37037016
580 37296917
581 37558219
582 37820856
583 38084904
584 38350296
585 38617109
586 38885275
587 39154872
588 39425832
589 39698232
590 39972005
591 40247228
592 40523833
593 40801898
594 41081355
595 41362282
596 41644610
597 41928418
598 42213637
599 42500346
600 42788476
我原以为，王守恩先生已经给出了前600个数值，时则不然，只给到了218，安王守恩的是给到了N=208.
所以，是方程\(X_1+2X_2+3X_3+4X_4+5X_5=N+10\)的正整数解组数与N的5份拆相关联，还是那句话，要求拆分成5份即可（不必要求不都相同，因为那样没有多大用处，和数学意义，只是把N模5余数为0的去了一组而已）。 王守恩 发表于 2021-11-6 09:40
谢谢白新岭！将正整数 n 拆分成 5 个不全相等的正整数相加，有a(n)种不同的拆分法。
例子
a(06)=01:...
即便，只提供到208，也是一个了不起任务，一般对Excel不太熟练的，到208也提供不了。
如果用一种算法，在2007年版的Excel中，还是可以处理此数据的。不知道王守恩先生是否会编程，会的话，或许也能办到，计算n=601,602,603，....，610即可（相当于王守恩先生的591,592,593，....，600）.
目的，验证公式是否正确 自然数 统计1至5 周2 周3 周4 周5
1 0 57501 1031662 5420883 17451564
2 0 59553 1049446 5482479 17599452
3 0 61667 1067474 5544621 17748308
4 0 63829 1085718 5607267 17898076
5 0 66055 1104210 5670465 18048820
6 0 68331 1122922 5734173 18200484
7 0 70673 1141886 5798439 18353132
8 0 73067 1161074 5863221 18506708
9 0 75529 1180518 5928567 18661276
10 0 78045 1200190 5994435 18816780
11 0 80631 1220122 6060873 18973284
12 0 83273 1240286 6127839 19130732
13 0 85987 1260714 6195381 19289188
14 0 88759 1281378 6263457 19448596
15 1 91606 1302311 6332116 19609021
16 1 94512 1323483 6401314 19770405
17 2 97495 1344928 6471101 19932814
18 3 100540 1366617 6541434 20096191
19 5 103664 1388583 6612362 20260601
20 7 106852 1410797 6683842 20425987
21 10 110121 1433292 6755923 20592414
22 13 113456 1456039 6828562 20759825
23 18 116875 1479072 6901809 20928286
24 23 120362 1502361 6975620 21097739
25 30 123935 1525940 7050045 21268250
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