虽然主贴程序错误，却意外发现一条结论:
已知 △ ABC 的外接圆为O，垂心为 H ，过 A , H 两点的圆O1分别再交 AB , AC 于点 D 和 E ，且有 AD =AE． 圆O1和圆O的另一个交点为 X , XD 和 XE 分别交再圆 O于点Q和P．设M是AH中点，过M作AB垂线交∠BAC的平分线于O1’，以O1'为圆心，O1'A为半径交AB、AC于D'和E'，X'是圆O1和圆O的另一个交点。如红色圆和红色线段所示。证明： QE 和P D 的交点 S 在圆O上，X'、D'、Q和X'、E’、P共线．
以上证明包括T关于O的对称点T1的情形，如主贴所示。
本帖最后由 TSC999 于 2021-12-8 11:35 编辑
在原题中还可推出：
① A、O、S 三点共线。 ② AO 是角 PAQ 的角平分线。 ③S 是三角形 APQ 的垂心。 ④ AP=AQ，SP=SQ，即三角形 APQ 和SPQ都是等腰三角形。
⑤ 以 AS 为直径的圆（圆心为 O3）交 AQ 于 D3，交 AP 于 E3，则该圆与圆 O 相内切于 A 点。D、D3、S、P 共线，E、E3、S、Q 共线。
本帖最后由 TSC999 于 2021-12-8 21:30 编辑
补充：在图二中，证明 X2、D2、Q 三点共线； X2、E2、P 三点共线。
Clear["Global`*"]; (*设三角形ABC的外接圆为单位圆，C 点在正 x 轴上，如图一*)
\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = o = 0;
\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = c = 1;
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = 1/a; b = t^2;
\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = 1/b;
\!\(\*OverscriptBox[\(t\), \(_\)]\) = 1/t;
\!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = 1/p;
h = a + b + c(*当三角形外心在坐标原点时此式成立*);
\!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\) =
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) +
\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) +
\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\);
m = (a + h)/2;(* M是A、H的中点*)
\!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\) = (
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) +
\!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\))/2;
k := (a - b)/(
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\));
\!\(\*OverscriptBox[\(k\), \(_\)]\) := 1/k;(*直线的复斜率*)
Jd := -((k2 (a1 - k1
\!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\)) - k1 (a2 - k2
\!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));
\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\) := -((a1 - k1
\!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) - (a2 - k2
\!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));
(*复斜率等于k1且经过A1点的直线，与复斜率等于k2且经过A2点的直线，两直线的交点*)
FourPoint := ((
\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) d - c
\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) (a - b) - (
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) b - a
\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) (c - d))/((a - b) (
\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) - (
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) (c - d));
\!\(\*OverscriptBox[\(FourPoint\), \(_\)]\) := -(((c
\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) d) (
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) - ( a
\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) b) (
\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)))/((a - b) (
\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) - (
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) (c - d)));
(*过A、B点的直线与过C、D点的直线的交点*)
Duichengdian := (
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) b - a
\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) +
\!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) (a - b))/(
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\));(*P关于直线AB的镜像点*)
\!\(\*OverscriptBox[\(Duichengdian\), \(_\)]\) := (a
\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) b + p (
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)))/(a - b);
o1 = Simplify[ Jd[-k, m, k, a]];
\!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\) = Simplify[
\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[-k, m, k, a]];
Print["o1=", o1];
w1 = Simplify@Solve[{(z - o1) (
\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\)) == (a - o1) (
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\)), (z - a)/(
\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) == (z - b)/(
\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)), z != a}, {z,
\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\)}];
d = Part, 1], 2];
\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = Part, 2], 2];
Print["d = ", d];
w2 = Simplify@Solve[{(z - o1) (
\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\)) == (a - o1) (
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\)), (z - a)/(
\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) == (z - c)/(
\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)), z != a}, {z,
\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\)}];
e = Part, 1], 2];
\!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Part, 2], 2];
Print["e=", e];
x = Simplify];
\!\(\*OverscriptBox[\(x\), \(_\)]\) = Simplify[
\!\(\*OverscriptBox[\(Duichengdian\), \(_\)]\)];
Print["x=", x];
q = Simplify[-(k/x)];
\!\(\*OverscriptBox[\(q\), \(_\)]\) = Simplify; p =
Simplify[-(k/x)];
\!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = Simplify;
Print["p=", p];
Print["q=", q];
s = Simplify];
\!\(\*OverscriptBox[\(s\), \(_\)]\) = Simplify[
\!\(\*OverscriptBox[\(FourPoint\), \(_\)]\)];
Print["s=", s];
Print["SE的复斜率/SD的复斜率 = ", Simplify/k]]
Print["AE的复斜率/AD的复斜率 = ", Simplify/k]]
If/k] == Simplify/k],
Print["由于上述两个复斜率的比值相等，因此 ADSE 四点共圆。"]]
Print["OA的复斜率 = ", Simplify], " OS的复斜率 = ",
Simplify]];
If/k] == 1,
Print["因为OA的复斜率与OS的复斜率相等，故 A、O、S 三点共线"]]
Print["AS的复斜率 = ", Simplify], " PQ的复斜率 = ",
Simplify]];
If/k] == -1,
Print["因为AS的复斜率与PQ的复斜率是相反数，故这两条直线垂直"]]
Print["PS的复斜率 = ", Simplify], " AQ的复斜率 = ",
Simplify]];
If/k] == -1,
Print["因为PS的复斜率与AQ的复斜率是相反数，故这两条直线垂直"]]
Print["QS的复斜率 = ", Simplify], " AP的复斜率 = ",
Simplify]];
If/k] == -1,
Print["因为QS的复斜率与AP的复斜率是相反数，故这两条直线垂直"]]
S2 := (a - b) (
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)); (* A点到B点长度的平方 *)
Print["AP = ", Simplify], " AQ = ", Simplify]];
If/S2] == 1, Print["因为 AP = AQ, 故二者长度相等"]]
Print["SP = ", Simplify], " SQ = ", Simplify]];
If/S2] == 1, Print["因为 SP = SQ, 故二者长度相等"]]
o2 = Simplify[ Jd[-k, m, k, a]];
\!\(\*OverscriptBox[\(o2\), \(_\)]\) = Simplify[
\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[-k, m, k, a]];
Print["o2=", o2];
w3 = Simplify@Solve[{(z - o2) (
\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(o2\), \(_\)]\)) == (a - o2) (
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(o2\), \(_\)]\)), (z - a)/(
\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) == (z - b)/(
\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)), z != a}, {z,
\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\)}];
d2 = Part, 1], 2];
\!\(\*OverscriptBox[\(d2\), \(_\)]\) = Part, 2], 2];
Print["d2 = ", d2];
w4 = Simplify@Solve[{(z - o2) (
\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(o2\), \(_\)]\)) == (a - o2) (
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(o2\), \(_\)]\)), (z - a)/(
\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) == (z - c)/(
\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)), z != a}, {z,
\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\)}];
e2 = Part, 1], 2];
\!\(\*OverscriptBox[\(e2\), \(_\)]\) = Part, 2], 2];
Print["e2 = ", e2];
x2 = Simplify];
\!\(\*OverscriptBox[\(x2\), \(_\)]\) = Simplify[
\!\(\*OverscriptBox[\(Duichengdian\), \(_\)]\)];
Print["x2=", x2];
Print["X2D2 的复斜率 = ", Simplify], "， D2Q 的复斜率 = ",
Simplify]];
If/ k] == 1,
Print["由于X2D2的复斜率等于D2Q的复斜率，因此 X2、D2、Q 三点共线。"]]
Print["X2E2 的复斜率 = ", Simplify], "， E2P 的复斜率 = ",
Simplify]];
If/ k] == 1,
Print["由于X2E2的复斜率等于E2P的复斜率，因此 X2、E2、P 三点共线。"]]
o3 = (a + s)/2;
\!\(\*OverscriptBox[\(o3\), \(_\)]\) = (
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) +
\!\(\*OverscriptBox[\(s\), \(_\)]\))/2;
w5 = Simplify@Solve[{(z - o3) (
\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(o3\), \(_\)]\)) == (a - o3) (
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(o3\), \(_\)]\)), (z - a)/(
\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) == (z - q)/(
\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(q\), \(_\)]\)), z != a}, {z,
\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\)}];
d3 = Part, 1], 2];
\!\(\*OverscriptBox[\(d3\), \(_\)]\) = Part, 2], 2];
Print["d3 = ", d3];
w6 = Simplify@Solve[{(z - o3) (
\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(o3\), \(_\)]\)) == (a - o3) (
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(o3\), \(_\)]\)), (z - a)/(
\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) == (z - p)/(
\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)), z != a}, {z,
\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\)}];
e3 = Part, 1], 2];
\!\(\*OverscriptBox[\(e3\), \(_\)]\) = Part, 2], 2];
Print["e3 = ", e3];
Print["DD3 的复斜率 = ", Simplify], "， D3S 的复斜率 = ",
Simplify], "， SP 的复斜率 = ", Simplify]];
If/ k] == 1 &&
Simplify/ k] == 1,
Print["由于DD3、D3S、SP 的复斜率都相等，因此 D、D3、S、P 四点共线。"]]
Print["EE3 的复斜率 = ", Simplify], "， E3S 的复斜率 = ",
Simplify], "， SQ 的复斜率 = ", Simplify]];
If/ k] == 1 &&
Simplify/ k] == 1,
Print["由于EE3、E3S、SQ 的复斜率都相等，因此 E、E3、S、Q 四点共线。"]]
运行结果：
o1=(a (t^2-t+a+1))/(a-t)
d = (a (t^3+t^2+a+1))/(a-t)
e=(a (t^3+a t+t+1))/((a-t) t)
x=-((a t (t^2-t+a+1))/(t^2+a (t^2-t+1)))
p=-(a/t)
q=-a t
s=a (-t+1-1/t)
SE的复斜率/SD的复斜率 = 1/t^2
AE的复斜率/AD的复斜率 = 1/t^2
由于上述两个复斜率的比值相等，因此 ADSE 四点共圆。
OA的复斜率 = a^2 OS的复斜率 = a^2
因为OA的复斜率与OS的复斜率相等，故 A、O、S 三点共线
AS的复斜率 = a^2 PQ的复斜率 = -a^2
因为AS的复斜率与PQ的复斜率是相反数，故这两条直线垂直
PS的复斜率 = -a^2 t AQ的复斜率 = a^2 t
因为PS的复斜率与AQ的复斜率是相反数，故这两条直线垂直
QS的复斜率 = -(a^2/t) AP的复斜率 = a^2/t
因为QS的复斜率与AP的复斜率是相反数，故这两条直线垂直
AP = t+2+1/t AQ = t+2+1/t
因为 AP = AQ, 故二者长度相等
SP = -((t-1)^2/t) SQ = -((t-1)^2/t)
因为 SP = SQ, 故二者长度相等
o2=(-a t^2+t^2+2 a t+a+1)/(2 t+2)
d2 = 1/2 (-a t^2+t^2+a+1)
e2 = (-a (t-1)^2+t^2+1)/(2 t)
x2=(t (-a t^2+t^2+2 a t+a+1))/(a t^2+t^2+2 t+a-1)
X2D2 的复斜率 = -((a t^2 (-t^2+a (t^2-2 t-1)-1))/(a t^2+t^2+2 t+a-1))， D2Q 的复斜率 = -((a t^2 (-t^2+a (t^2-2 t-1)-1))/(a t^2+t^2+2 t+a-1))
由于X2D2的复斜率等于D2Q的复斜率，因此 X2、D2、Q 三点共线。
X2E2 的复斜率 = (a (-a t^2+t^2+2 a t+a+1))/(a t^2+t^2+2 t+a-1)， E2P 的复斜率 = (a (-a t^2+t^2+2 a t+a+1))/(a t^2+t^2+2 t+a-1)
由于X2E2的复斜率等于E2P的复斜率，因此 X2、E2、P 三点共线。
d3 = -((a (t^3+t^2-t+1))/(2 t))
e3 = -((a (t^3-t^2+t+1))/(2 t^2))
DD3 的复斜率 = -a^2 t， D3S 的复斜率 = -a^2 t， SP 的复斜率 = -a^2 t
由于DD3、D3S、SP 的复斜率都相等，因此 D、D3、S、P 四点共线。
EE3 的复斜率 = -(a^2/t)， E3S 的复斜率 = -(a^2/t)， SQ 的复斜率 = -(a^2/t)
由于EE3、E3S、SQ 的复斜率都相等，因此 E、E3、S、Q 四点共线。 上面的问题属于线性构造，虽然构图复杂，计算不难，对于下面的问题如何求出u，这是四次方程。
如图，两条内角平分线相等AD=BE，求证△ABC是等腰三角形。
\(e^{\frac{i\angle BAC}{2}}=v{,}e^{\frac{i\angle CBA}{2}}=u，可求得e=\frac{\left( 1-u^2\right)v^4}{1-u^2v^4}{,}d=\frac{\left( 1-u^4\right)v^2}{1-v^2u^4}，\)\(AD=\frac{ 1-u^4}{1-u^2v^4}v,BE=\frac{ 1-v^4}{1-v^2u^4}u\)
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