pell方程迭代中值中的一个二次方程化简问题
本帖最后由 wsc810 于 2022-2-17 20:21 编辑设素数d=4k+1, $d=P^2+Q^2$
$p_{n-1}^2-dq_{n-1}^2=(-1)^nQ_n$ (1)
$p_n^2-dq_n^2=(-1)^{n+1}Q_{n+1}$ (2)
在迭代中点，有$Q_n=Q_{n+1}=Q$
$p_{n-1}^2-(P^2+Q^2)q_{n-1}^2=(-1)^nQ$
将上述不定方程看作关于 Q 的二次方程，移项、整理得
$Q^2q_{n-1}^2+(-1)^nQ-(p_{n-1}^2-Pq_{n-1}^2)=0$
$(2Qq_{n-1}^2+(-1)^n)^2=1+4q_{n-1}^2(p_{n-1}^2-Pq_{n-1}^2)$，这个恒等式右边可以化简为其它形式吗
同理对第二个方程,有
$(2Qq_{n}^2+(-1)^{n+1})^2=1+4q_n^2(p_n^2-Pq_n^2)$
其它几个有用的公式
假设$x^2-dy^2=-1$,在迭代中点、则有
$p_n^2+p_{n-1}^2=dy$
$q_n^2+q_{n-1}^2=y$
$p_nq_n+p_{n-1}q_{n-1}=x$
$p_nq_n-p_{n-1}q_{n-1}=Py$
$p_nq_{n-1}+p_{n-1}q_n=Qy$
$p_np_{n-1}+dq_nq_{n-1}=Qx$
$p_n^2+dq_n^2=Px+dy$
$p_{n-1}^2+dq_{n-1}^2=dy-Px$
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