论坛 › 刨根究底 › 其中最小的 M 是几？

王守恩 发表于 2022-8-7 07:22:08

其中最小的 M 是几？

1，正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 999999999 种写法，其中最小的 M 是几？

2，正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，恰好有 999999999 种写法，其中最小的 M 是几？

王守恩 发表于 2022-8-8 15:18:00

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 9 种写法，其中最小的 M 是几？
\(M=3^2*5*7\)
=315

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 99 种写法，其中最小的 M 是几？
\(M=3^2*5^2*7^2*11*13\)
=1576575

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 999 种写法，其中最小的 M 是几？
\(M=3^3*5^3*7*11*13*17*19*23\)
=25097947875

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 9999 种写法，其中最小的 M 是几？
\(M=3^4*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41\)
=4107378557617335

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 99999 种写法，其中最小的 M 是几？
\(M=3^2*5^2*7^2*11*13*17*19*23*29*31*37*41*47*53\)
=39789088838429705775

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 999999 种写法，其中最小的 M 是几？
\(M=3^6*5^2*7^2*11*13*17*19*...*37*41*43*47*53*59*61\)
=498768841730878144106355675

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 9999999 种写法，其中最小的 M 是几？
\(M=3^2*5^2*7^2*11^2*13*17*19*23*...*53*59*61*67*71*73*79\)
=1858189853139238604311721330010075

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 99999999 种写法，其中最小的 M 是几？
\(M=3^2*5*7*11*13*17*19*23*29*...*73*79*83*89*97*101*103\)
=35977235293387842259059782458038387594315

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 999999999 种写法，其中最小的 M 是几？
\(M=3^2*5^2*7^2*11^2*13^2*17*19*23*29*31*...*83*89*97*101*103*107\)
=19267068702844458104205580598665587900321483525

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 9999999999 种写法，其中最小的 M 是几？
\(M=3^4*5^2*7^2*11^2*13^2*17^2*19*23*29*31*37*...*103*107*109*113*127\)
=4611218900172543686012857147158269181095454475091945175

王守恩 发表于 2022-8-14 10:29:29

第2道题相对简单些！谢谢时空伴随者！

2，正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，恰好有 n 种写法，其中最小的 M 是几？

解：将 n+1 作整数因子分解并按因子大小从大到小排序，\(n+1=P_1^{q_1\ }P_2^{q_2\ }\dots P_k^{q_k\ }\)

其中 \(P_1> P_2>\dots>P_k\)

最后将 \(q_1\) 个 \(P_1-1,q_2\) 个 \(P_2-1\) 等等直到 \(q_k\) 个 \(P_k-1\) 依次分配给前 \(q_1+q_2+\dots +q_k\) 个奇素数。

\(M=3^{P_1-1\ }\ 5^{P_1-1\ }\dots P^{P_1-1\ }\dots\)。

例如 n=99 时 \(n+1=5^2\ 2^2,\ M=3^4\times 5^4\times 7\times 11=3898125\)

aimisiyou 发表于 2022-8-15 11:31:05

王守恩 发表于 2022-8-14 10:29
第2道题相对简单些！谢谢时空伴随者！

2，正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，恰好有 n 种写法 ...

怎么推导的？

王守恩 发表于 2022-8-15 19:28:09

aimisiyou 发表于 2022-8-15 11:31
怎么推导的？
A069283       

王守恩 发表于 2022-8-16 08:13:52

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 n 种写法，其中最小的 M 是几？

好像还没有成熟的解法。

有 0 种写法，其中最小的 M 是 1。
有 1 种写法，其中最小的 M 是 3。
有 2 种写法，其中最小的 M 是 9。
有 3 种写法，其中最小的 M 是 15。
有 4 种写法，其中最小的 M 是 45。
有 5 种写法，其中最小的 M 是 45。
有 6 种写法，其中最小的 M 是105。
有 7 种写法，其中最小的 M 是105。
有 8 种写法，其中最小的 M 是225。
有 9 种写法，其中最小的 M 是315。
有10种写法，其中最小的 M 是315。
有11种写法，其中最小的 M 是315。
有12种写法，其中最小的 M 是945。
有13种写法，其中最小的 M 是945。
有14种写法，其中最小的 M 是945。
有15种写法，其中最小的 M 是945。
有16种写法，其中最小的 M 是1575。
有17种写法，其中最小的 M 是1575。
有18种写法，其中最小的 M 是2835。
有19种写法，其中最小的 M 是2835。
有20种写法，其中最小的 M 是3465。
有21种写法，其中最小的 M 是3465。
有22种写法，其中最小的 M 是3465。
有23种写法，其中最小的 M 是3465。
有24种写法，其中最小的 M 是10395。
有25种写法，其中最小的 M 是10395。
有26种写法，其中最小的 M 是10395。

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