论坛 › 难题征解 › 绳圈面积最大问题

056254628 发表于 2009-10-26 23:03:38

楼上正确。
$k*x^2+m*y^2+n*z^2 >=(kx+my+nz)^2/(k+m+n)=d^2/(k+m+n)$
当x=y=z时取等号。

wayne 发表于 2009-10-26 23:24:50

答案还真就是如3楼,12楼所说的,在三个圆弧半径相等的时候取得.

wayne 发表于 2009-10-27 13:15:23

在三个圆弧半径相等的时候取得最值，不知4楼，12楼是怎么得到的

数学星空 发表于 2009-10-27 14:17:59

呵,此类问题好像早已有人研究过,和楼上一样都是用物理学原理来描述的,没有用数学详细推导....
由于绳圈面积最大时,力处于平衡状态,并且只有当边界曲线成圆弧时,围成的面积最大,要想力平衡,只有当三个圆弧半径相等(此时每个曲线上的张力才能相等)...因此,就有了以上的描述

Enig123 发表于 2009-11-4 10:59:24

在二者之间时，圆弧被三角形的三条边各自切去了一点，把切去部分的面积最小化就应该是绳圈围成的最大面积。这其中当然由于绳子贴在了三角形的边上，圆弧的半径可比围成的整圆稍大。

mathe 发表于 2009-11-4 11:46:06

呵,此类问题好像早已有人研究过,和楼上一样都是用物理学原理来描述的,没有用数学详细推导....
由于绳圈面积最大时,力处于平衡状态,并且只有当边界曲线成圆弧时,围成的面积最大,要想力平衡,只有当三个圆弧半径相等(此 ...
数学星空 发表于 2009-10-27 14:17 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
每个边界都是圆弧是很容易得到的。
但是要想力平衡，要求三个半径都相等这个还是不容易得到（即使用物理的方法）。
我们可以想象每个圆弧的力相当于作用于各个圆弧的圆心。即使三个力作用点都不同，还是可能平衡的

gxqcn 发表于 2009-11-5 07:36:36

很想知道三段圆弧的法线相交于一点？还是某个特殊三角形？:Q:

wayne 发表于 2009-11-5 08:36:19

呵呵，是三角形的内心。

数学星空 发表于 2009-11-5 11:57:49

呵,不论三角形三个角内切于两边的圆半径是多少,连结顶点和对应的内切圆圆心(应该是郭大侠说的圆弧法线吧)肯定是内角平分线,三条角平分线的交点,那就是内心嘛.....

hujunhua 发表于 2010-1-11 03:04:52

26# mathe


这个容易得到。绳所受张力T=绳圈与三角形框架角间的肥皂膜的表面张力f×绳圈的曲率半径r

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