一道几何题

yuanqifan 发表于 2023-2-12 11:36:54

已知AD为∠BAC角平分线，P是线段AD上一动点，直线BP交AC于E，直线CP交AB于F，直线EF与△ABC的外接圆在A点处的切线相交于Q。
求证：QA=QP。

yuanqifan 发表于 2023-2-12 15:29:09

本来感觉很水，实际上挺难:(:(

题目描述我已经改过了~

dlsh 发表于 2023-2-13 20:29:11

本帖最后由 dlsh 于 2023-2-13 20:59 编辑

AD是角平分线，求证：AB = PQ，PQ // BC
\!$\*OverscriptBox["b", "_"]$ = b = 0;
\!$\*OverscriptBox["c", "_"]$ = c = 1;
a = 1/(1 - \ v);
\!$\*OverscriptBox["a", "_"]$ = v/(v - \ );(*假设
\!$\*OverscriptBox["AC", "_"]$ /
\!$\*OverscriptBox["AB", "\"]$=\v*)

\!$\*OverscriptBox["d", "_"]$ = d = 1/(1 - \ ); o = 1/(
1 - v^2);
\!$\*OverscriptBox["o", "_"]$ = -(v^2/(
1 - v^2));(*内角平分线性质定理，圆心角是圆周角2倍*)
(*a,d,o各点复坐标由向量定比分点公式求出*)
KAB := (a - b)/(
\!$\*OverscriptBox["a", "_"]$ -
\!$\*OverscriptBox["b", "_"]$);
\!$\*OverscriptBox["KAB", "_"]$ := 1/KAB(*复斜率定义*)

\!$\*OverscriptBox["p", "_"]$ =
\!$\*OverscriptBox["KAB", "_"]$ (p - a) +
\!$\*OverscriptBox["a", "_"]$;(*P在直线AD上*)

\!$\*OverscriptBox["Jd", "_"]$ := -((a1 - k1
\!$\*OverscriptBox["a1", "_"]$ - (a2 - k2
\!$\*OverscriptBox["a2", "_"]$))/(
k1 - k2));(*复斜率等于k1,过点A1与复斜率等于k2,过点A2的直线交点*)
Jd := -((k2 (a1 - k1
\!$\*OverscriptBox["a1", "_"]$) - k1 (a2 - k2
\!$\*OverscriptBox["a2", "_"]$))/(k1 - k2));
FourPoint := ((
\!$\*OverscriptBox["c", "_"]$ d - c
\!$\*OverscriptBox["d", "_"]$) (a - b) - (
\!$\*OverscriptBox["a", "_"]$ b - a
\!$\*OverscriptBox["b", "_"]$) (c - d))/((a - b) (
\!$\*OverscriptBox["c", "_"]$ -
\!$\*OverscriptBox["d", "_"]$) - (
\!$\*OverscriptBox["a", "_"]$ -
\!$\*OverscriptBox["b", "_"]$) (c - d));(*过两点A和B、C和D的交点*)

\!$\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]$ := -(((c
\!$\*OverscriptBox["d", "_"]$ -
\!$\*OverscriptBox["c", "_"]$ d) (
\!$\*OverscriptBox["a", "_"]$ -
\!$\*OverscriptBox["b", "_"]$) - ( a
\!$\*OverscriptBox["b", "_"]$ -
\!$\*OverscriptBox["a", "_"]$ b) (
\!$\*OverscriptBox["c", "_"]$ -
\!$\*OverscriptBox["d", "_"]$))/((a - b) (
\!$\*OverscriptBox["c", "_"]$ -
\!$\*OverscriptBox["d", "_"]$) - (
\!$\*OverscriptBox["a", "_"]$ -
\!$\*OverscriptBox["b", "_"]$) (c - d)));
f = FourPoint;
\!$\*OverscriptBox["f", "_"]$ =
\!$\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]$; e =
FourPoint;
\!$\*OverscriptBox["e", "_"]$ =
\!$\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]$;
q = Jd[-KAB, a, KAB, e];
\!$\*OverscriptBox["q", "_"]$ =
\!$\*OverscriptBox["Jd", "_"]$[-KAB, a, KAB, e];
Simplify[{1,
\!$\*OverscriptBox["p", "_"]$, , f,
\!$\*OverscriptBox["f", "_"]$, , e,
\!$\*OverscriptBox["e", "_"]$}]
Simplify[{2, q,
\!$\*OverscriptBox["q", "_"]$}]
Simplify[{3, a - q, p - q, (a - q)/(p - q)}]
Simplify(*验证AB//PQ *)
Edge,QQ,360浏览器都传不了图

nyy 发表于 2023-2-14 11:07:59

dlsh 发表于 2023-2-13 20:29
Edge,QQ,360浏览器都传不了图

真受不了你，一个缩进都没有！这种代码扔给我，我直接扔掉，因为实在看不下去。

mathe 发表于 2023-2-14 16:19:26

这道题目可以转化为要求证明PQ//BC. 而题目比较不好处理的是角平分线。考虑到本题中G点处切线也和BC平行，我们可以去掉AG是$/_BAC$角平分线的条件，改为证明G点处切线,BC,PQ三线共点

于是这就变成一个射影几何的题目了。而由于总存在射影变换将一条任意圆锥曲线变换为另外一条，而且指定曲线上三个不同点的像。我们可以通过将这个一般化问题中圆还是变换为本身，B,C保持不动，G点变换后使得BG和CG两段圆弧相等，就变换为本题情况。所以这个一般化的问题和本地等价，但是可以去掉角平分线的条件。
另外我们如果采用射影几何简介31#中保持一个点处保角（所有经过这个点的直线变换后是自身），另外将一条不经过此点的直线变换到无穷远直线的变换方案，
我们对本题中做射影变换使得过A点的直线映射到自身，直线BC映射到无穷远直线，于是圆变成一条双曲线，其中B,C两点为双曲线上两条渐近线方向的无穷远点。
AB和AC变成过A点和渐近线平行的直线。由于保持过A点直线方向不变，角平分线AP变成和双曲线对称轴平行的直线，而BP和CP有同渐近线平行，得到如下的图:

要求证明直线PQ和过G点的切线平行，这个由对称性马上可以得出。所以证明了本题。

yigo 发表于 2023-2-14 16:36:33

延长AQ、CB交于点R，则RA=RD，设三角形ABC定点A、B、C定点的对边长为a、b、c，设RB长为r，则BD=ac/(b+c)，又RB*RC=RA^2=RD^2，即r(r+a)=(r+ac/(b+c))^2，求得r=ac^2/(b^2-c^2)。
设AF/AB=x，AE/AC=y，AP/AD=t，AQ/AR=z，由梅涅劳斯定理有(a+r)/x=a/z+r/y，x/(1-x)*(b+c)/b*(1-t)/t=1，y/(1-y)*(b+c)/c*(1-t)/t=1，应该可以解得z=t，即PQ平行于RD，这QA=QP。

dlsh 发表于 2023-2-14 22:01:51

http://tiebapic.baidu.com/forum/w%3D580/sign=2f844a00a5fe9925cb0c695804aa5ee4/62c42b13632762d0e2aef67ae5ec08fa503dc608.jpg?tbpicau=2023-02-16-05_1f7e5ea99b3ba9d7b3fe0bd7675db6f9

转自百度贴吧https://tieba.baidu.com/p/8221102001，凸四边形ABDC满足AB=AC，BD=BC，平面内两点EF满足∠EAF=1/2∠BAC，∠EDF=1/2∠BDC，BE交CF于G，求证：AG/DG=AB/BD与角度相关的问题，复数比较方便

mathe 发表于 2023-2-15 10:06:57

G点落在过B,C两点的阿氏圆上。所以证明角BGC为常数即可

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