1^4+2^4+3^4+...........999^4之和的个位数是几？
1^4+2^4+3^4+...........999^4之和的个位数是几？有几种方法？ \, 10^3]\]300 Sum=3
100*3=300,末尾0 Mod, 10^4]=3300 northwolves 发表于 2023-2-18 23:20
100*3=300,末尾0
总结，最简单的就是100*n,末尾0 前n项和，四次方的，和等于
\[\frac{1}{30} n (n+1) (2 n+1) \left(3 n^2+3 n-1\right)\]
当n=999的时候，等于199500333333300，个位数等于零 一个整数的整次幂的个位数，与底数中非个位数的数字无关，即 \((10*k+b)^r\equiv b^r \pmod{10}\)
我们可在等式前面加上一项 \(0^4\)，并不影响结果：
\begin{align*}&\mathrel{\phantom{=}}1^4+2^4+3^4+\cdots+999^4 \\
&= (0^4+1^4+\cdots+9^4)+(10^4+11^4+\cdots+19^4)+\cdots+(990^4+991^4+\cdots+999^4) \\
&\equiv (0^4+1^4+\cdots+9^4)*100 \\
&\equiv 0 \pmod{10}\end{align*}
添加 \(0^4\) 后，项数从 999 变为 1000；每连续 10 个为一组（其和个位数恒定），正好 100 组，所以累计和的个位数为 0
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