黄金分割：黄金点♥黄金线♥广义黄金线

陈九章

王守恩

陈九章 发表于 2023-3-11 11:49

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,1597, 2584, 4181, 6765,
10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229.........

\(F_{n}=\bigg[\frac{\cos(\arcsin(i/2) n)}{\cos(\arcsin(i/2))}\bigg]\)

王守恩

今年是兔年，恭祝大家兔年快乐！

F=1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,

\(F(01)=001\)
\(F(02)=001\)
\(F(03)=002=001*1+001*1\)
\(F(04)=003=002*1+001*1\)
\(F(05)=005=003*1+002*1=002*2+001*1\)
\(F(06)=008=005*1+003*1=003*2+002*1\)
\(F(07)=013=008*1+005*1=005*2+003*1=003*3+002*2\)
\(F(08)=021=013*1+008*1=008*2+005*1=005*3+003*2\)
\(F(09)=034=021*1+013*1=013*2+008*1=008*3+005*2=005*5+03*3\)
\(F(10)=055=034*1+021*1=021*2+013*1=013*3+008*2=008*5+05*3\)
\(F(11)=089=055*1+034*1=034*2+021*1=021*3+013*2=013*5+08*3=08*8+05*5\)
\(F(12)=144=089*1+055*1=055*2+034*1=034*3+021*2=021*5+13*3=13*8+08*5\)
\(F(13)=233=144*1+089*1=089*2+055*1=055*3+034*2=034*5+21*3=21*8+13*5=13*13+08*8\)
\(F(14)=377=233*1+144*1=144*2+089*1=089*3+055*2=055*5+34*3=34*8+21*5=21*13+13*8\)
\(F(15)=610=377*1+233*1=233*2+144*1=144*3+089*2=089*5+55*3=55*8+34*5=34*13+21*8=21*21+13*13\)
\(F(16)=987=610*1+377*1=377*2+233*1=233*3+144*2=144*5+89*3=89*8+55*5=55*13+34*8=34*21+21*13\)

王守恩

n=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......

\(\big((n^{01}-1)^{01}\big)^{00}+\big((n^{01}-1)^{01}\big)^{01}=\big(n(n^{01}-1)^{00}\big)^{01}\)
\(\big((n^{02}-1)^{03}\big)^{01}+\big((n^{02}-1)^{02}\big)^{01}=\big(n(n^{02}-1)^{01}\big)^{02}\)
\(\big((n^{03}-1)^{03}\big)^{01}+\big((n^{03}-1)^{02}\big)^{02}=\big(n(n^{03}-1)^{01}\big)^{03}\)
\(\big((n^{05}-1)^{08}\big)^{02}+\big((n^{05}-1)^{05}\big)^{03}=\big(n(n^{05}-1)^{03}\big)^{05}\)
\(\big((n^{08}-1)^{08}\big)^{03}+\big((n^{08}-1)^{05}\big)^{05}=\big(n(n^{08}-1)^{03}\big)^{08}\)
\(\big((n^{13}-1)^{21}\big)^{05}+\big((n^{13}-1)^{13}\big)^{08}=\big(n(n^{13}-1)^{08}\big)^{13}\)
\(\big((n^{21}-1)^{21}\big)^{08}+\big((n^{21}-1)^{13}\big)^{13}=\big(n(n^{21}-1)^{08}\big)^{21}\)
\(\big((n^{34}-1)^{55}\big)^{13}+\big((n^{34}-1)^{34}\big)^{21}=\big(n(n^{34}-1)^{21}\big)^{34}\)
\(\big((n^{55}-1)^{55}\big)^{21}+\big((n^{55}-1)^{34}\big)^{34}=\big(n(n^{55}-1)^{21}\big)^{55}\)
......

陈九章

黄金分割，起源于 五角星 吗？
人们普遍认为，黄金分割作图与正五边形、正十边形和五角星形的作图有关，特别是由五角星形作图的需要引起的。五角星形是一种很耐人寻味的图案，世界许多国家国旗上的“星”都画成五角形。现今有将近40个国家(如中国、美国、朝鲜、土耳其、古巴等)的国旗上有五角星。
五角星形的起源甚早，现在发现最早的五角星形图案是在幼发拉底河下游马鲁克地方(现属伊拉克)发现的，一块公元前3200年左右制成的泥板上。古希腊的毕达哥拉斯学派用五角星形作为他们的徽章或标志，称之为“健康”。可以认为毕达哥拉斯已熟知五角星形的作法，由此可知,他已掌握了黄金分割的方法。现在人一般认为，黄金分割是由公元前6世纪的毕达哥拉斯发现的。
系统论述黄金分割的最早记载是欧几里得的《几何原本》，在该书第4卷中记述了用黄金分割作五边形、十边形的问题，在第2卷第11节中详细讲了黄金分割的计算方法，其中写道：“以点H按中末比截线段AB，使AB:AH=AH:HB。”将这一式子计算一下：设AB=1,AH=x，则上面等式变为1:x=x：(1-x)，即得一元二次方程x²+x-1=0,解之得x=（√5-1）/2≈0.618，点H是AB的黄金分割点，0.618叫作“黄金数”。
在《几何原本》中把它称为“中末比”。直到文艺复兴时期，人们重新发现了古希腊数学，并且发现这种比例广泛存在于许多图形的自然结构之中，因而高度推崇“中末比”的奇妙性质和用途。意大利数学家帕乔利称“中末比”为“神圣比例”;德国天文学家开普勒称“中末比”为“黄金分割”。
最早在著作中使用“黄金分割”这一名称的是德国数学家M.奧姆。他在自己的著作《纯粹初等数学》(第2版，1835)中用了德文“der goldene schnitt"(黄金分割)来表述中末比，以后，这一称呼才逐渐流行起来。

王守恩

1, 1, 2, 4, 6, 9, 15, 25, 40, 64, 104, 169, 273, 441, 714, 1156, 1870, 3025, 4895,
7921, 12816, 20736, 33552, 54289, 87841,  142129, 229970, 372100, 602070,
974169, 1576239, 2550409, 4126648, 6677056, 10803704, 17480761, ......

\(\D a(n)=\bigg[\frac{(2\cos(\pi/5))^{n}}{5}\bigg]=\D\bigg\lceil\sum_{k=1}^{n-2} \frac{(2\cos(\pi/5))^k}{5}\bigg\rceil\)

A006498     没有这 2 个公式。

王守恩

这个论坛高手都得是，这个简约公式就是 northwolves 告诉我的，这也是我赖这里的缘故。

\(\frac{1}{(2\cos(\pi/5))^1}+\frac{1}{(2\cos(\pi/5))^2}+\frac{1}{(2\cos(\pi/5))^3}+\frac{1}{(2\cos(\pi/5))^4}+\frac{1}{(2\cos(\pi/5))^5}+\frac{1}{(2\cos(\pi/5))^6}+......=2\cos(\pi/5)\)

那么多个数加起来，还就是这个数！这样的算式还会有吗？好像没有了！

王守恩

前面再添 1 项，还是神奇的得数。

\(\frac{1}{(2\cos(\pi/5))^0}+\frac{1}{(2\cos(\pi/5))^1}+\frac{1}{(2\cos(\pi/5))^2}+\frac{1}{(2\cos(\pi/5))^3}+\frac{1}{(2\cos(\pi/5))^4}+\frac{1}{(2\cos(\pi/5))^5}+......=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}\)

淘气小孩，在海滩玩耍发现一块贝壳，奔跑相告，感染我们的是那种快乐，让我们跟着小孩一起奔跑！

ejsoon

王守恩 发表于 2023-3-4 07:28
胆怯的问：这漂亮的等式是怎么来的？谢谢！
\(\arctan\big(\frac{1}{1}\big)=\arctan\big(\frac{1}{2}\b ...

我只用計算器驗證過，不知來源及證明。

hujunhua

陈九章 发表于 2023-3-11 11:22
杨辉三角形数阵yu斐波那契数列
在数学中，杨辉三角形是出现在概率论、组合学和代数中的二项式系数的三角形 ...

\[\begin{split}
F_n=\sum_{i+j=n} C_i^j&=C_n^0+C_{n-1}^1+C_{n-2}^2+\cdots+C_{n-i}^i+\cdots+C_{\lceil n/2 \rceil}^{\lfloor n/2\rfloor}\\
&=C_n^0+C_{n-1}^1+C_{n-2}^2+\cdots+C_{n-i}^i+\cdots+\begin{cases}C_{k+1}^k&n=2k+1\\
C_k^k&n=2k\end{cases}
\end{split}\]