陈九章
发表于 2023-3-11 11:49:08
王守恩
发表于 2023-3-11 18:30:24
本帖最后由 王守恩 于 2023-3-11 18:32 编辑
陈九章 发表于 2023-3-11 11:49
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,1597, 2584, 4181, 6765,
10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229.........
\(F_{n}=\bigg[\frac{\cos(\arcsin(i/2) n)}{\cos(\arcsin(i/2))}\bigg]\)
王守恩
发表于 2023-3-12 15:02:26
今年是兔年，恭祝大家兔年快乐！
F=1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,
\(F(01)=001\)
\(F(02)=001\)
\(F(03)=002=001*1+001*1\)
\(F(04)=003=002*1+001*1\)
\(F(05)=005=003*1+002*1=002*2+001*1\)
\(F(06)=008=005*1+003*1=003*2+002*1\)
\(F(07)=013=008*1+005*1=005*2+003*1=003*3+002*2\)
\(F(08)=021=013*1+008*1=008*2+005*1=005*3+003*2\)
\(F(09)=034=021*1+013*1=013*2+008*1=008*3+005*2=005*5+03*3\)
\(F(10)=055=034*1+021*1=021*2+013*1=013*3+008*2=008*5+05*3\)
\(F(11)=089=055*1+034*1=034*2+021*1=021*3+013*2=013*5+08*3=08*8+05*5\)
\(F(12)=144=089*1+055*1=055*2+034*1=034*3+021*2=021*5+13*3=13*8+08*5\)
\(F(13)=233=144*1+089*1=089*2+055*1=055*3+034*2=034*5+21*3=21*8+13*5=13*13+08*8\)
\(F(14)=377=233*1+144*1=144*2+089*1=089*3+055*2=055*5+34*3=34*8+21*5=21*13+13*8\)
\(F(15)=610=377*1+233*1=233*2+144*1=144*3+089*2=089*5+55*3=55*8+34*5=34*13+21*8=21*21+13*13\)
\(F(16)=987=610*1+377*1=377*2+233*1=233*3+144*2=144*5+89*3=89*8+55*5=55*13+34*8=34*21+21*13\)
王守恩
发表于 2023-3-14 07:27:48
n=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
\(\big((n^{01}-1)^{01}\big)^{00}+\big((n^{01}-1)^{01}\big)^{01}=\big(n(n^{01}-1)^{00}\big)^{01}\)
\(\big((n^{02}-1)^{03}\big)^{01}+\big((n^{02}-1)^{02}\big)^{01}=\big(n(n^{02}-1)^{01}\big)^{02}\)
\(\big((n^{03}-1)^{03}\big)^{01}+\big((n^{03}-1)^{02}\big)^{02}=\big(n(n^{03}-1)^{01}\big)^{03}\)
\(\big((n^{05}-1)^{08}\big)^{02}+\big((n^{05}-1)^{05}\big)^{03}=\big(n(n^{05}-1)^{03}\big)^{05}\)
\(\big((n^{08}-1)^{08}\big)^{03}+\big((n^{08}-1)^{05}\big)^{05}=\big(n(n^{08}-1)^{03}\big)^{08}\)
\(\big((n^{13}-1)^{21}\big)^{05}+\big((n^{13}-1)^{13}\big)^{08}=\big(n(n^{13}-1)^{08}\big)^{13}\)
\(\big((n^{21}-1)^{21}\big)^{08}+\big((n^{21}-1)^{13}\big)^{13}=\big(n(n^{21}-1)^{08}\big)^{21}\)
\(\big((n^{34}-1)^{55}\big)^{13}+\big((n^{34}-1)^{34}\big)^{21}=\big(n(n^{34}-1)^{21}\big)^{34}\)
\(\big((n^{55}-1)^{55}\big)^{21}+\big((n^{55}-1)^{34}\big)^{34}=\big(n(n^{55}-1)^{21}\big)^{55}\)
......
陈九章
发表于 2023-3-16 13:31:30
本帖最后由 陈九章 于 2023-3-16 21:22 编辑
黄金分割，起源于 五角星 吗？
人们普遍认为，黄金分割作图与正五边形、正十边形和五角星形的作图有关，特别是由五角星形作图的需要引起的。五角星形是一种很耐人寻味的图案，世界许多国家国旗上的“星”都画成五角形。现今有将近40个国家(如中国、美国、朝鲜、土耳其、古巴等)的国旗上有五角星。
五角星形的起源甚早，现在发现最早的五角星形图案是在幼发拉底河下游马鲁克地方(现属伊拉克)发现的，一块公元前3200年左右制成的泥板上。古希腊的毕达哥拉斯学派用五角星形作为他们的徽章或标志，称之为“健康”。可以认为毕达哥拉斯已熟知五角星形的作法，由此可知,他已掌握了黄金分割的方法。现在人一般认为，黄金分割是由公元前6世纪的毕达哥拉斯发现的。
系统论述黄金分割的最早记载是欧几里得的《几何原本》，在该书第4卷中记述了用黄金分割作五边形、十边形的问题，在第2卷第11节中详细讲了黄金分割的计算方法，其中写道：“以点H按中末比截线段AB，使AB:AH=AH:HB。”将这一式子计算一下：设AB=1,AH=x，则上面等式变为1:x=x：(1-x)，即得一元二次方程x2+x-1=0,解之得x=（√5-1）/2≈0.618，点H是AB的黄金分割点，0.618叫作“黄金数”。
在《几何原本》中把它称为“中末比”。直到文艺复兴时期，人们重新发现了古希腊数学，并且发现这种比例广泛存在于许多图形的自然结构之中，因而高度推崇“中末比”的奇妙性质和用途。意大利数学家帕乔利称“中末比”为“神圣比例”;德国天文学家开普勒称“中末比”为“黄金分割”。
最早在著作中使用“黄金分割”这一名称的是德国数学家M.奧姆。他在自己的著作《纯粹初等数学》(第2版，1835)中用了德文“der goldene schnitt"(黄金分割)来表述中末比，以后，这一称呼才逐渐流行起来。
王守恩
发表于 2023-3-17 06:01:11
1, 1, 2, 4, 6, 9, 15, 25, 40, 64, 104, 169, 273, 441, 714, 1156, 1870, 3025, 4895,
7921, 12816, 20736, 33552, 54289, 87841,142129, 229970, 372100, 602070,
974169, 1576239, 2550409, 4126648, 6677056, 10803704, 17480761, ......
\(\D a(n)=\bigg[\frac{(2\cos(\pi/5))^{n}}{5}\bigg]=\D\bigg\lceil\sum_{k=1}^{n-2} \frac{(2\cos(\pi/5))^k}{5}\bigg\rceil\)
A006498 没有这 2 个公式。
王守恩
发表于 2023-3-18 07:50:08
这个论坛高手都得是，这个简约公式就是 northwolves 告诉我的，这也是我赖这里的缘故。
\(\frac{1}{(2\cos(\pi/5))^1}+\frac{1}{(2\cos(\pi/5))^2}+\frac{1}{(2\cos(\pi/5))^3}+\frac{1}{(2\cos(\pi/5))^4}+\frac{1}{(2\cos(\pi/5))^5}+\frac{1}{(2\cos(\pi/5))^6}+......=2\cos(\pi/5)\)
那么多个数加起来，还就是这个数！这样的算式还会有吗？好像没有了！
王守恩
发表于 2023-3-19 12:29:13
前面再添 1 项，还是神奇的得数。
\(\frac{1}{(2\cos(\pi/5))^0}+\frac{1}{(2\cos(\pi/5))^1}+\frac{1}{(2\cos(\pi/5))^2}+\frac{1}{(2\cos(\pi/5))^3}+\frac{1}{(2\cos(\pi/5))^4}+\frac{1}{(2\cos(\pi/5))^5}+......=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}\)
淘气小孩，在海滩玩耍发现一块贝壳，奔跑相告，感染我们的是那种快乐，让我们跟着小孩一起奔跑！
ejsoon
发表于 2023-4-20 14:16:33
王守恩 发表于 2023-3-4 07:28
胆怯的问：这漂亮的等式是怎么来的？谢谢！
\(\arctan\big(\frac{1}{1}\big)=\arctan\big(\frac{1}{2}\b ...
我只用計算器驗證過，不知來源及證明。
hujunhua
发表于 2023-4-21 08:34:07
陈九章 发表于 2023-3-11 11:22
杨辉三角形数阵yu斐波那契数列
在数学中，杨辉三角形是出现在概率论、组合学和代数中的二项式系数的三角形 ...
\[\begin{split}
F_n=\sum_{i+j=n} C_i^j&=C_n^0+C_{n-1}^1+C_{n-2}^2+\cdots+C_{n-i}^i+\cdots+C_{\lceil n/2 \rceil}^{\lfloor n/2\rfloor}\\
&=C_n^0+C_{n-1}^1+C_{n-2}^2+\cdots+C_{n-i}^i+\cdots+\begin{cases}C_{k+1}^k&n=2k+1\\
C_k^k&n=2k\end{cases}
\end{split}\]
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