角三等分线确定椭圆的问题
如图，$AP$、$AP'$ 是 $\angle A$ 的三等分线，$BQ$、$BQ'$ 是 $\angle B$ 的三等分线，$CR$、$CR'$ 是 $\angle C$ 的三等分线，证明过点 $P$、$P'$、$Q$、$Q'$、$R$、$R'$ 的二次曲线是椭圆。 或者说，需要证明这个结论：
令
\[
f(x,y,z)=\frac{\sin^4 3x\sin(x+3y)\sin(x+3z)}{\sin x\sin 2x}，g(p,q,r)=p^2+q^2+r^2-2(pq+pr+qr)，
\]
在满足 $x>0$，$y>0$，$z>0$，$x+y+z=60^\circ$ 时有
\[
g(f(x,y,z),f(y,z,x),f(z,x,y))<0。
\]
首先需要证明六点共二次曲线
作图显示，由三角形的内角三等分线确定的二次曲线有三条：1、角三等分线与三角形的三边相交共得6点共一个椭圆。
2、角三等分线对应相交于6点共一个椭圆。
3、6条角三等分线所围六边形有一个内切椭圆。
借用 1 楼的图，问题推广如下：$AP$、$AP'$ 互为 $\angle A$ 的等角线，$BQ$、$BQ'$ 互为 $\angle B$ 的等角线，$CR$、$CR'$ 互为 $\angle C$ 的等角线，若 $\frac{\angle PAP'}{\angle A}=\frac{\angle QBQ'}{\angle B}=\frac{\angle RCR'}{\angle C}=k$，则过点 $P$、$P'$、$Q$、$Q'$、$R$、$R'$ 的二次曲线称为 $\triangle ABC$ 的 $k$ 等角线二次曲线，证明或否定 $k$ 等角线二次曲线是椭圆，若已知 $\triangle ABC$ 的三边长，求 $k$ 等角线二次曲线的轴长、焦点位置、离心率。 本帖最后由 nyy 于 2023-3-6 15:45 编辑
hejoseph 发表于 2023-3-6 15:25
借用 1 楼的图，问题推广如下：$AP$、$AP'$ 互为 $\angle A$ 的等角线，$BQ$、$BQ'$ 互为 $\angle B$ 的等 ...
你让我知道了结式，但是我从mathematica上看到结式似乎有很多种
Resultant
https://mathworld.wolfram.com/Resultant.html
https://mathworld.wolfram.com/SylvesterMatrix.html
这儿居然有算结式的代码！
查到资料，推广的命题 $t$ 在区间 $$ 内的那些椭圆称为Hofstadter椭圆，下面的链接里有介绍，但是没有找到资料证明这些二次曲线都是椭圆
https://mathworld.wolfram.com/HofstadterEllipse.html
计算结果，当 $k>1$ 时不一定是椭圆，当 $0\leq k\leq 1$ 时是椭圆还未能解决。
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