用向量法求解四面体的体积
四面体OABC，求解OH平方
\[\frac{a^2 b^2 c^2 \left(\text{CosA}^2-2 \text{CosA} \text{CosB} \text{CosC}+\text{CosB}^2+\text{CosC}^2-1\right)}{a^2 \left(b^2 \left(\text{CosC}^2-1\right)+2 b c (\text{CosA}-\text{CosB} \text{CosC})+c^2 \left(\text{CosB}^2-1\right)\right)+2 a b c (b (\text{CosB}-\text{CosA} \text{CosC})+c (\text{CosC}-\text{CosA} \text{CosB}))+b^2 c^2 \left(\text{CosA}^2-1\right)}\]
看下分母
化简得到
\[\frac{1}{4} (x-y-z) (x+y-z) (x-y+z) (x+y+z)=-4S^2\]
其中S表示三角形ABC的面积
最后体积表达式
\
全部代码如下：
Clear["Global`*"];
(*子函数,计算余弦值,利用三边计算余弦值,角是c边所对的角*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
ru={CosA->cs,CosB->cs,CosC->cs}
rule={OA*OB->a*b*cs,OA*OC->a*c*cs,OB*OC->b*c*cs,OA->a,OB->b,OC->c}
(*下面的规则替换上面的规则,重新定义*)
rule={OA*OB->a*b*CosC,OA*OC->a*c*CosB,OB*OC->b*c*CosA,OA->a,OB->b,OC->c}
OH=s*OA+t*OB+(1-s-t)*OC(*用向量OA、OB、OC来表达ABC面上的高OH*)
f1=(OH*(OA-OB)//Expand)/.rule(*OH垂直于向量AB*)
f2=(OH*(OA-OC)//Expand)/.rule(*OH垂直于向量AC*)
ans=Solve[{
f1==0,
f2==0
},{s,t}](*求解出系数s与t*)
(*化简OH的高度的平方*)
f=((OH^2//Expand)/.ans[])/.rule//FullSimplify
aaa=Denominator/.ru//Factor
用向量法求解都比较困难，因为计算量非常的大，
优点就是高中生都能理解，
相对来说计算量比较小的办法，我见到的，都是用行列式来推导体积
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2515&fromuid=14149
算是对这个问题的回复，13年前的问题的回复 mathematica能计算向量的内积吗？@chyanog 能不？我只会用笨办法来替换
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