发一下我的作图方法，我是直接确定阿波罗尼斯圆的直径，具体看下图
我画了一个△ABC三边等于5、6、7的情况的图
Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
(*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
fun:=Sqrt/288]
{a,b,c}={5,6,7}(*△ABC三边赋值*)
ans=Solve[{
(y+z)/a==(z+x)/b==(x+y)/c,(*离心率相等,所以三者相等*)
fun==0,(*四面体体积等于零*)
x>0&&y>0&&z>0(*限制变量范围*)
},{x,y,z}]
Grid(*列表显示*)
Grid,Alignment->Left](*数值化列表显示*)
求解结果
\[\begin{array}{lll}
x\to 4 \sqrt{\frac{1}{105} \left(537-64 \sqrt{39}\right)} & y\to \sqrt{\frac{3}{35} \left(537-64 \sqrt{39}\right)} & z\to 2 \sqrt{\frac{1}{105} \left(537-64 \sqrt{39}\right)} \\
x\to 4 \sqrt{\frac{1}{105} \left(64 \sqrt{39}+537\right)} & y\to \sqrt{\frac{3}{35} \left(64 \sqrt{39}+537\right)} & z\to 2 \sqrt{\frac{1}{105} \left(64 \sqrt{39}+537\right)} \\
\end{array}\]
数值化
\[\begin{array}{lll}
x\to 4.574382133286824 & y\to 3.430786599965118 & z\to 2.287191066643412 \\
x\to 11.94705699977233 & y\to 8.960292749829251 & z\to 5.973528499886167 \\
\end{array}\]
x->4.574382133286824 y->3.430786599965118 z->2.287191066643412
x->11.94705699977233 y->8.960292749829251 z->5.973528499886167
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