请用纯几何方法证明 FB=FN
本帖最后由 TSC999 于 2023-4-14 20:35 编辑上图中，\(O\) 和 \(I\) 分别是 \(△ABC \)的外心和内心，\(D、E\) 是 \(△ABC\) 的角 \(B\)、角 \(C\) 平分线与对边的交点。
\(DE\) 延长线与外接圆交于 \(F\) 点。\(BD\) 的延长线与外接圆交于 \(G\) 点，\(GF\) 与 \(AC\) 交于 \(H\)。作 \(HN // CF\) 并与 \(AF\)
交于 \(N\) 点。求证\(FB = FN\)。 令BC=a，CA=b，AB=c。
延长ED交圆O于K，交BC于J；令FE=x，ED=y，DK=z，KJ=w。
易知FG平分∠CFA，故FN/FA=CH/CA=FC/(FC+FA)，故FN=FA*FC/(FC+FA)。
要证FB=FN，即证FB=FA*FC/(FC+FA)，即证FB/FA+FB/FC=1。
FB/FC=sin∠FCB/sin∠FBC=sin∠FAB/sin∠FAC=(2S△AFE/(AF*AE))/(2S△AFD/(AF*AD))=S△AFE/S△AFD*AD/AE，
S△AFE/S△AFD=FE/FD=x/(x+y)，
由I是内心，知AE=b*c/(a+b)，AD=b*c/(a+c)，
故FB/FC=x/(x+y)*(a+b)/(a+c)，
FB/FA=sin∠FAB/sin∠FBA=sin∠FCB/sin∠FCA=sin∠FCJ/sin∠FCA=(2S△CFJ/(CF*CJ))/(2S△CFD/(CF*CD))=S△CFJ/S△CFD*CD/CJ，
S△CFJ/S△CFD=(x+y+z+w)/(x+y)，
CD=a*b/(a+c)，
△ABC被直线EDJ所截，由梅涅劳斯定理有：AE/EB*BJ/JC*CD/DA=1，即b/a*(a+CJ)/CJ*a/c=1，得CJ=a*b/(c-b)，
故FB/FA=(x+y+z+w)/(x+y)*(c-b)/(a+c)，
证FB/FA+FB/FC=1，即证：(x+y+z+w)/(x+y)*(c-b)/(a+c)+x/(x+y)*(a+b)/(a+c)=1，
化简即证：y/(z+w)=(c-b)/(a+b)，
△EJB被直线ADC所截，由梅涅劳斯定理有:ED/DJ*JC/CB*BA/AE=1，即y/(z+w)*b/(c-b)*(a+b)/b=1，即y/(z+w)=(c-b)/(a+b)。
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