本帖最后由 nyy 于 2023-4-24 12:36 编辑
王守恩 发表于 2023-4-24 10:16
这样的四边形有6个。3种可能(3的对面只能是4,5,6),每种可能2个解,共6个解。a,b,c,d=4条边, A,B,C, ...
进一步完善我的求解：
思路：
只要已知一条对角线的长度（假设为x），那么根据海伦公式，
就能求解出两个三角形的面积，两个三角形的面积相加等于四边形面积=18，然后求解方程（此处忽略凹四边形情况，已经求解过了，不存在凹四边形情况）
穷举所有情况：
{{3, 4, x, 5, 6}, {3, 4, x, 6, 5}, {3, 5, x, 4, 6}, {3, 5, x, 6, 4}, {3, 6, x, 4, 5}, {3, 6, x, 5, 4}}
其中
{3, 4, x, 5, 6}
表示AB=3，BC=4，AC=x，CD=5，DA=6
搞成矩阵形式
\[\begin{array}{lllll}
3 & 4 & x & 5 & 6 \\
3 & 4 & x & 6 & 5 \\
3 & 5 & x & 4 & 6 \\
3 & 5 & x & 6 & 4 \\
3 & 6 & x & 4 & 5 \\
3 & 6 & x & 5 & 4 \\
\end{array}\]
两个三角形的面积
\[\begin{array}{ll}
\frac{1}{4} \sqrt{-x^4+50 x^2-49} & \frac{1}{4} \sqrt{-x^4+122 x^2-121} \\
\frac{1}{4} \sqrt{-x^4+50 x^2-49} & \frac{1}{4} \sqrt{-x^4+122 x^2-121} \\
\frac{1}{4} \sqrt{-x^4+68 x^2-256} & \frac{1}{4} \sqrt{-x^4+104 x^2-400} \\
\frac{1}{4} \sqrt{-x^4+68 x^2-256} & \frac{1}{4} \sqrt{-x^4+104 x^2-400} \\
\frac{1}{4} \sqrt{-x^4+90 x^2-729} & \frac{1}{4} \sqrt{-x^4+82 x^2-81} \\
\frac{1}{4} \sqrt{-x^4+90 x^2-729} & \frac{1}{4} \sqrt{-x^4+82 x^2-81} \\
\end{array}\]
求解结果
\[\begin{array}{ll}
\{x\to 5\} & \left\{x\to \sqrt{\frac{221}{5}}\right\} \\
\{x\to 5\} & \left\{x\to \sqrt{\frac{221}{5}}\right\} \\
\left\{x\to 10 \sqrt{\frac{5}{17}}\right\} & \left\{x\to 2 \sqrt{13}\right\} \\
\left\{x\to 10 \sqrt{\frac{5}{17}}\right\} & \left\{x\to 2 \sqrt{13}\right\} \\
\left\{x\to 9 \sqrt{\frac{5}{13}}\right\} & \left\{x\to \frac{9 \sqrt{17}}{5}\right\} \\
\left\{x\to 9 \sqrt{\frac{5}{13}}\right\} & \left\{x\to \frac{9 \sqrt{17}}{5}\right\} \\
\end{array}\]
数值化
\[\begin{array}{ll}
\{x\to 5.\} & \{x\to 6.64831\} \\
\{x\to 5.\} & \{x\to 6.64831\} \\
\{x\to 5.42326\} & \{x\to 7.2111\} \\
\{x\to 5.42326\} & \{x\to 7.2111\} \\
\{x\to 5.58156\} & \{x\to 7.42159\} \\
\{x\to 5.58156\} & \{x\to 7.42159\} \\
\end{array}\]
所有代码如下：
Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
(*子函数,海伦公式,利用海伦公式计算三角形的面积*)
heron:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt]
(*穷举四边以及对角线*)
aaa={3,#[],x,#[],#[]}&/@Permutations[{4,5,6}]
Grid(*列表显示*)
(*对于每一种情况,用海伦公式求出两个三角形面积*)
bbb={heron[#1,#2,#3],heron[#3,#4,#5]}&@@@aaa//Simplify
Grid(*列表显示*)
(*要求两三角形面积相加=四边形面积=18,且对角线长度正数,且两个三角形面积非负*)
ccc=Solve[(#[]+#[])==18&&x>0&&#[]>=0&&#[]>=0,x]&/@bbb
Grid(*列表显示*)
优化后的代码（优化后的代码可读性更强）：
Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
(*子函数,海伦公式,利用海伦公式计算三角形的面积*)
heron:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt]
(*穷举四边以及对角线,每一个元素表示{AB,BC,AC=x,CD,DA}*)
aaa={3,#1,x,#2,#3}&@@@Permutations@{4,5,6}
(*对于每一种情况,用海伦公式△ABC、△ACD的面积*)
bbb={heron[#1,#2,#3],heron[#3,#4,#5]}&@@@aaa//Simplify
(*要求两三角形面积相加=四边形面积=18,且对角线长度正数,且两个三角形面积非负*)
ccc=Solve[(#1+#2)==18&&x>0&>=0&>=0,x]&@@@bbb
Grid(*列表显示*)
Grid(*列表显示*)
Grid(*列表显示*)
nyy 发表于 2023-4-24 12:03
你这个人真操蛋！
只要已知一条对角线的长度（假设为x），那么根据海伦公式，
就能求解出两个三角形的 ...
谢谢 nyy！有道理！不需要4个方程。
这样的四边形有6个。3种可能(3的对面只能是4,5,6),每种可能2个解,共6个解。a,b,c,d=4条边, A,C=2个对角。
\(\frac{a*b\sin(A)+c*d\sin(C)}{2*18}=\frac{a^2+b^2-2a*b\cos(A)}{c^2+d^2-2c*d\cos(C)}=1\)
Table + c*d*Sin)/(2*18) == (a^2 + b^2 - 2 a*b*Cos)/(c^2 + d^2 - 2 c*d*Cos) == 1,
\ > A > 0, \ > C > 0}, {A, C}], {a, 3, 3}, {b, 4, 4}, {c, 5, 5}, {d, 6, 6}] // FullSimplify
{{{{{{A -> \/2, C -> ArcTan}, {A -> \ - ArcTan, C -> ArcTan}}}}}}
王守恩 发表于 2023-4-24 18:07
谢谢 nyy！有道理！不需要4个方程。
这样的四边形有6个。3种可能(3的对面只能是4,5,6),每种可能2个解, ...
我真受不了你，你写的代码太差了，
答案结果有6层大括号，直接让人吐死了！
还有居然把代码与结果放在一个代码框里面。
然后使用前居然没清除变量，也没注释，操，
这代码太操蛋了！居然用table，{a, 3, 3}, {b, 4, 4}, {c, 5, 5}, {d, 6, 6}
还不如直接在外面{a,b,c,d}={3,4,5,6}赋值，这样代码也好看。也减少嵌套！
代码太垃圾了！
王守恩 发表于 2023-4-24 18:07
谢谢 nyy！有道理！不需要4个方程。
这样的四边形有6个。3种可能(3的对面只能是4,5,6),每种可能2个解, ...
我来做个示范，把你的代码改造一下：
Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
{a,b,c,d}={3,4,5,6}(*四边形四边赋值*)
ans=Solve[{
(*两个三角形面积相加等于四边形面积*)
1/2*(a*b*Sin+c*d*Sin)==18,
(*用余弦定理来计算同一条对角线,是相等的*)
a^2+b^2-2*a*b*Cos==c^2+d^2-2*c*d*Cos,
0<A<Pi&&0<C<Pi(*限制变量范围*)
},{A,C},Method->Reduce]//FullSimplify
Grid(*列表显示*)
求解结果
\[\left\{\left\{A\to \frac{\pi }{2},C\to 2 \cot ^{-1}(2)\right\},\left\{A\to 2 \tan ^{-1}(3),C\to 2 \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\right\}\right\}\]
矩阵形式的求解结果
\[\begin{array}{ll}
A\to \frac{\pi }{2} & C\to 2 \cot ^{-1}(2) \\
A\to 2 \tan ^{-1}(3) & C\to 2 \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \\
\end{array}\]
相对于你的代码，我的代码的优点如下：
1、一开头就清除所有变量，避免以前定义的变量对本次写的代码的干扰；
2、有注释，代码可读性更强
3、有缩进
4、输出结果不层层嵌套
然后求解结果用LaTeX来表达，更容易看清楚看明白！再写成矩阵形式，可读性更高！
nyy 发表于 2023-4-25 09:00
我来做个示范，把你的代码改造一下：
求通项：12, 127, 1277, 12777, 127777, 1277777, 12777777, 127777777, ...,
王守恩 发表于 2023-4-29 12:24
求通项：12, 127, 1277, 12777, 127777, 1277777, 12777777, 127777777, ...,
$a_n=\frac{23*10^n-14}{18}$
王守恩 发表于 2023-4-29 12:24
求通项：12, 127, 1277, 12777, 127777, 1277777, 12777777, 127777777, ...,
Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
RSolve[{a==a*10+7,a==12},a,n]
求解结果
\[\left\{\left\{a(n)\to \frac{1}{18} \left(23\ 10^n-14\right)\right\}\right\}\]
王守恩 发表于 2023-4-29 12:24
求通项：12, 127, 1277, 12777, 127777, 1277777, 12777777, 127777777, ...,
找到递推公式，然后用高中数学知识，方程两边同时加上7/9，
再根据等比数列知识，就能得到通项公式！