关于方差性质应用的一个困惑
随机变量Y， X如果存在Y=aX，且已知X方差是Var(X)，则Var(Y)=\(a^{2 }\)Var(X)。这个性质的数学推导过程我已经理解。过去对这个问题的直观理解是比如班里20个同学的身高方差是xx厘米。又存在1厘米=10毫米。那么如果我问班级同学的身高方差是多少毫米。那么答案是100*xx毫米。
但是我发现这个性质的另一个应用似乎不容易直观理解。我不知道这是不是对方差性质的错误应用？如果不是错误应用那么应该如何直观理解？
假设某学校五年级有5个班。每个班30名同学。测量完150名同学身高的方差是y厘米。因为一个班是30名同学，所以班级同学的身高方差是900*y 厘米。进而年级同学身高方差是 \(\left( 30\times5\right)^2\times y=2250\times y\) 。在比如全市有十所小学每个小学五年级都是5个班，每班都是30名学生。那全市五年级身高的方差是=\(\left( 10\times5\times30\right)^2\times y=5{,}625{,}000{,}000\times y\)
这里面有两个问题：
1、所谓900*y得到的班级同学身高方差的含义是什么？是每个班级同学总身高形成的5个数据 ，这5个数据的方差？这么理解对么？
那最后算出的\(5{,}625{,}000{,}000\times\ y\)这个方差数据的含义又是什么呢？是全市所有小学“班级总身高”数据的方差？还是全市“10所小学”5年级同学总身高 这10个数据的方差？
2、测量的真实数据只有 一所学校的150名同学。最后算出的“全市”方差数据似乎是一种“推算”吧？这个“推算”数据跟我真实测量的150个学生数据在概念上应该有所区别吧？有没有特殊的名词命名这种推算的方差？这种推算出的方差和我真实测量全市5年级学生身高数据算出的方差如果存在“差异”。这个“差异”叫什么？ 这个“差异”事前能推算出来么？
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