一个极值
本帖最后由 数学星空 于 2009-11-4 18:17 编辑已知正数,a,b,c,k,且满足a+b+c=k*a*b*c, 求f(a,b,c)=(a-1)*(b-1)*(c-1)的最大值 有约束条件的三元函数极值。
直接求偏导数，联立解三组方程就是了 不对啊。
最大值可以取到无穷大的 呵,当k=1时,最大值为6sqrt(3)-10 设$g(a,b,c)=(a-1)(b-1)(c-1)-\lambda (a+b+c-k a b c)$
将g(a,b,c)分别对a,b,c求偏导，令其为0。解此方程有两组解：
a= b=c=\frac{1-\sqrt{(1+k (-1+\lambda )) \lambda }}{1+k \lambda }
a=b=c=\frac{1+\sqrt{(1+k (-1+\lambda )) \lambda }}{1+k \lambda }
也就是说，如果存在极值，那么极值一定在a=b=c的时候取得。。。。 记录学习 不对，我计算得到是
solve([a+b+c=k*a*b*c,(b-1)*(c-1)+u*(1-k*b*c),(a-1)*(b-1)+u*(1-k*a*b),(a-1)*(c-1)+u*(1
-k*a*c)],);(%o3) [,,,,,,]
所以其中0<k<1时存在极值点(1/k,1/k,2/(1-k)),
k>1时还有极值点(1,1,2/(k-1))
此外还有极值点a=b=c=0 楼主给的例子很特殊啊，
特殊之一，Mathematica直接解偏导方程组狠吃力，返回的解也是很繁杂的，而Maxima瞬间给出方程的解，而且还是最简洁的。
特殊之二，该式子似乎仅在k=1时，才能求得最大值，其他的k值对应的最大值都为无穷大，若通过求解偏导方程组，则得到的极值点处是取不到最大值的
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