求证，当k>2m且m≥0时，下面的不等式成立
求证，当 \(k \gt 2 m\) 且 \(m \geq 0\) 时，下面的不等式成立。\[ (k-2m)\sqrt{1+k^2} +\left(\frac{1}{k} + 2m\right)\sqrt{1+\left(\frac{1}{k}\right)^2} > \frac{3}{2}\sqrt{3}\] 挺怪异的构造，但是不是太难。不等式可以改写为
\((k-2m+\frac1{k^2}+\frac{2m}k)\sqrt{1+k^2} \gt \frac{3\sqrt{3}}2\)
即
\((k+(\frac2k-2)m+\frac1{k^2})\sqrt{1+k^2} \gt \frac{3\sqrt{3}}2\)
于是显然在$k\le 1$时，m=0左边取得最小值，所以这时左边\(\ge (k+\frac1{k^2})\sqrt{1+k^2} \ge 2\sqrt{1/k} \sqrt{2k}=2\sqrt{2}\gt \frac{3\sqrt{3}}2\).
而在$k \gt 1$时，显然m越大越小，于是左边\(\gt (k+(\frac2k-2)\frac k2+\frac1{k^2})\sqrt{1+k^2}=(1+\frac1{k^2})\sqrt{1+k^2}=(\frac12+\frac12+\frac1{k^2})\sqrt{1+\frac{k^2}2+\frac{k^2}2}\ge 3\sqrt{\frac1{4k^2}}\sqrt{3\sqrt{\frac{k^4}4}}=\frac{3\sqrt{3}}2\) mathe 发表于 2023-10-3 19:15
挺怪异的构造，但是不是太难。不等式可以改写为
\((k-2m+\frac1{k^2}+\frac{2m}k)\sqrt{1+k^2} \gt \frac{3 ...
谢谢！ 本帖最后由 Jack315 于 2023-10-4 15:45 编辑
【把题目反过来】
\(k, m\) 取何值时下列不等式成立：
\[(k-2m)\sqrt{1+k^2} + (\frac{1}{k} + 2m)\sqrt{1+\frac{1}{k^2}} > \frac{3}{2}\sqrt{3}\]
求解代码：
Reduce[{(k - 2 m) Sqrt + (1/k + 2 m) Sqrt > 3/2 Sqrt}, {k, m} \ Reals]
答案分为五种情况：
1) k < -1
k < -1 && m < -(3/4) Sqrt Sqrt + (-1 + k^3)/(2 k (1 + k))
2) -1 < k < 0
-1 < k < 0 && m > 3/4 Sqrt Sqrt + (-1 + k^3)/(2 k (1 + k))
3) 0 < k < 1
0 < k < 1 && m > 3/4 Sqrt Sqrt + (1 + k^3)/(2 (-1 + k) k)
4) k > 1
k > 1 && m < -(3/4) Sqrt Sqrt + (1 + k^3)/(2 (-1 + k) k))
5) k = 1 时，m 无论取何值都能使不等式成立。
注：
题目隐含 k 不能为零。
k = 1 时，m 无论取何值都能使不等式成立。
k = -1 时，m 无论取何值都不能使不等式成立。
下图中横坐标为 k ，纵坐标为 m ：
Jack315 发表于 2023-10-4 15:43
【把题目反过来】
\(k, m\) 取何值时下列不等式成立：
\[(k-2m)\sqrt{1+k^2} + (\frac{1}{k} + 2m)\sqrt{1+ ...
谢谢
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