EulerKepler 发表于 2023-11-13 14:27
sin5°也不是一个代数式吧，能不能写成有理数带根号的形式？
有什么意义？还不如用牛顿迭代法，直接搞出根来
本帖最后由 hejoseph 于 2023-11-14 09:04 编辑
EulerKepler：是我表达不好，滥用数学词汇。这个一元三次方程的来源就是sin5°，所以不想用sin5来表达结果，只想知道sin5°怎么用一个加减乘除开方来表达。
你要的表达式是不存在的，这是早已得到证明的结论：若实系数一元三次方程有三个实数根，则根不能用有限次系数的加减乘除以及开方运算（每步运算都是实数）得到。
hejoseph 发表于 2023-11-14 08:37
EulerKepler：是我表达不好，滥用数学词汇。这个一元三次方程的来源就是sin5°，所以不想用sin5来表达结果 ...
这是早已得到证明的结论：若实系数一元三次方程有三个实数根，则根不能用有限次系数的加减乘除以及开方运算（每步运算都是实数）得到。
真的吗？请问这个哪本书有详细介绍？
hejoseph 发表于 2023-11-14 08:37
EulerKepler：是我表达不好，滥用数学词汇。这个一元三次方程的来源就是sin5°，所以不想用sin5来表达结果 ...
有条件的吧，比如（x-1）(x-2)(x-3)=0就有三个整数根
本帖最后由 hejoseph 于 2023-11-14 15:22 编辑
lsr314 发表于 2023-11-14 14:36
有条件的吧，比如（x-1）(x-2)(x-3)=0就有三个整数根
楼主跟你所举的方程判别式都是正的，Mathematica运行
Discriminant[-4 x^3 + 3 x - (Sqrt - Sqrt)/4, x]
Discriminant[(x - 1) (x - 2) (x - 3), x]
后得到的结果分别是
-27(-8-4Sqrt)、4
所谓表达式不存在是这个意思：a1、a2、a3、a4都是实数，若a1x^3+a2x^2+a3x+a4=0有三个实数根，则不存在某个函数f(a1,a2,a3,a4)，使方程的根为f(a1,a2,a3,a4)，要求这个函数只能用a1、a2、a3、a4、有理数、加、减、乘、除、开方的有限次表示，并且每步运算都不能出现虚数。这个函数不能因为换了系数函数表达式就变了，就像二次方程求根公式一样，是要固定的形式的。
其实实系数三次方程有三个实数根的情况很久以前我也想找到一个运算过程始终是实数的根式公式解，直到后来我看到那个结论才知道是不可能找到的。
这也是为什么3°整数倍的三角函数你随便在网上找就能找到实数根式的值，而其他整数度的三角函数你怎么找都只能找到一些运算过程存在虚数的根式值。如果有那样的公式，世界上能人那么多，相信早就有人发现了。
本帖最后由 hejoseph 于 2023-11-14 15:38 编辑
lsr314 发表于 2023-11-14 15:25
我说的判别式可能和你的不一样，我说的是根号里的表达式，即方程化简成$x^3+px+q=0$以后，看$p^3/27+q^2/ ...
如果对特殊方程来说没什么意义，按你的说法(x-1)(x-2)(x-6)判别式就是负数，它的解就是有理数了。上面我所说的结论应该漏条件了，三次方程在有理数域内是不可约的。回家我再找找相关的书看看还能不能找到完整的描述。
本帖最后由 hejoseph 于 2023-11-14 20:55 编辑
lsr314 发表于 2023-11-14 15:25
我说的判别式可能和你的不一样，我说的是根号里的表达式，即方程化简成$x^3+px+q=0$以后，看$p^3/27+q^2/ ...
你的判别式也是负数啊，你举例的方程
(x-1)(x-2)(x-3)=(x-2)^3-(x-2)
p=-1，q=0，(q/2)^2+(p/3)^3=-1/27
我举例的方程
(x-1)(x-2)(x-6)=(x-3)^3-7(x-3)-6
p=-7，q=-6，(q/2)^2+(p/3)^3=-100/27
其实系数是实数只要有三个不同实数根判别式必定为负数
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