凸五边形密铺求角
如下图 1 的凸五边形 $ABCDE$ 中 $AB=a$，$BC=EA=1$，$CD=DE=2$，$∠A=90°$，$2∠B+∠C=360°$，$∠C+∠E=180°$。如图 1 的六个全等凸五边形按图 2 的方式拼接后作为密铺单元，图 3 利用图 2 的密铺单元铺满的平面。
求凸五边形 $ABCDE$ 的各个内角以及 $a$。
图1
图2
图3 设∠ABE=x,∠C=4C,解方程我的电脑不行。
NSolve[{2/Sin==CE/Cos,CE/Sin==1/Sin==(1/Sin)/Sin,1/Sin==AB/Cos,1>x>0,1>C>0,CE>0},{x,C,CE,AB}]
{{x -> 0.355467, C -> 0.30248, CE -> 3.54257, AB -> 2.6937}} 将凸五边形ABCDE置于矩形AFGH中，如下图所示：
标记各角 \(α=∠CBH,β=∠BCD=∠DEF,θ=∠CDG=β-α\), (注：\(∠C+∠E=180°→∠DEF=∠C\) )
由 \(2∠B+∠C=360°\) →\(β=2α, ∴θ=α\)
由 \(AF=GH\) → \(\sinα=\frac{\sqrt{57}-3}{8}\) 。
凸五边形的内角分别为：
\(∠A=90°, ∠B=145.338°, ∠C=69.3233°, ∠D=124.662°, ∠E=110.677°\)。
由 \(AH=FG\) →\(a=2\sin β+\cos α=2.6937\) 。
图3的密铺单元不一定非得是图2
存在密铺单元，就说明不是彭罗期密铺。图3包含了6种方向的五边形，每种方向的五边形都是规则地二维展开的，所以每种方向随便选一个代表所组成的代表团都能构成密铺单元。
比如下图涂色部分就是一个不同于图2的密铺单元，它是中心对称的。
不排斥非连通，就有无穷多种密铺单元。
限于连通的话，密铺单元还是有限的，有多少种呢？
也许还存在与图3不一样的密铺，不知道原文献中有没有讨论相关问题。
hujunhua 发表于 2023-12-19 19:30
存在密铺单元，就说明不是彭罗期密铺。
图3包含了6种方向的五边形，每种方向的五边形都是规则地二维展开的 ...
Jack315 发表于 2023-12-18 22:31
将凸五边形ABCDE置于矩形AFGH中，如下图所示：
标记各角 \(α=∠CBH,β=∠BCD=∠DEF,θ=∠CDG=β-α\), ( ...
谢谢 Jack315 ! 弱弱的问:这凸五边形能切割拼成矩形吗(面积不变)?
a=∠CBH,BH=cos(a),HC=sin(a),CG=2sin(a),GD=2cos(a),DF=2sin(2a),FE=2cos(2a),EA=1,AB=2sin(2a)-cos(a), 王守恩 发表于 2023-12-22 19:47
谢谢 Jack315 ! 弱弱的问:这凸五边形能切割拼成矩形吗(面积不变)?
a=∠CBH,BH=cos(a),HC=sin(a),CG=2s ...
将整个平面铺满，然后以任意（大于 0 的）长、宽切出一个矩形，只要面积与这个凸五边形相同就成，这个问题的答案就显而易见了。
只是这类问题有什么意义呢？
LZ思考的问题至少可以用来做墙纸，而最基本的单元是“不规则的”五边形，而不是常见的、对称性很好的四边形、菱形……等。 发一个正多边形密铺的文档
hejoseph 发表于 2024-1-5 16:46
发一个正多边形密铺的文档
請問這個是密鋪單元嗎？
$4·8^2$又是何義？ 一个正4边形+2个正8边形的意思。
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