在△ABC中，∠BAC=60°，∠DBC=30°，D为△ABC內一点，连接DA、DB、DC，若∠BDC=90°

nyy 发表于 2024-4-9 08:58:34

已知：在△ABC中，AC=6，∠BAC=60°. D为△ABC內一点, 连接DA、DB、DC，∠DBC=30°，∠BDC=90°，AD=$sqrt(7)$.
试求：边AB的长度。

nyy 发表于 2024-4-9 09:25:30

Clear["Global`*"];
deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
(*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
(*假设DC=t,则DB=Sqrt*t,BC=2*t *)
{DA,DB,DC}={Sqrt,Sqrt*t,t};(*三条线段长度赋值*)
{AB,BC,AC}={AB,2*t,6};(*线段长度赋值*)
ans=Solve[{
(*∠ADB+∠ADC=270°,因此两个角的余弦值的平方和等于1*)
cs^2+cs^2==1,
(*△ABC中对∠BAC=60°使用余弦定理*)
cs==Cos,
t>=0&&AB>=0(*限制变量范围*)
},{t,AB}];
Grid(*列表显示*)
aaa=N[{DA,DB,DC,AB,BC}/.ans,20];(*线段长度的数值*)
Grid(*列表显示*)

两次使用余弦定理，

∠ADB+∠ADC=270°,因此两个角的余弦值的平方和等于1，得到方程
\[\frac{\left(-\text{AB}^2+3 t^2+7\right)^2}{84 t^2}+\frac{\left(t^2-29\right)^2}{28 t^2}=1\]

△ABC中对∠BAC=60°使用余弦定理
\[\frac{\text{AB}^2-4 t^2+36}{12 \text{AB}}=\frac{1}{2}\]

联立方程解方程组，并且限定变量非负，得到
\[\begin{array}{ll}
t\to \sqrt{13} & \text{AB}\to 8 \\
t\to \sqrt{19} & \text{AB}\to 10 \\
\end{array}\]
绘图得到结果

nyy 发表于 2024-4-9 11:18:55

nyy 发表于 2024-4-9 09:25
两次使用余弦定理，

∠ADB+∠ADC=270°,因此两个角的余弦值的平方和等于1，得到方程

Clear["Global`*"];
deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
(*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
(*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
fun:=Sqrt/288]
(*假设DC=t,则DB=Sqrt*t,BC=2*t *)
{DA,DB,DC}={Sqrt,Sqrt*t,t};(*三条线段长度赋值*)
{AB,BC,AC}={AB,2*t,6};(*线段长度赋值*)
ans=Solve[{
(*四面体D-ABC的体积等于零*)
fun==0,
(*△ABC中对∠BAC=60°使用余弦定理*)
cs==Cos,
t>=0&&AB>=0(*限制变量范围*)
},{t,AB}];
Grid(*列表显示*)

(*四面体D-ABC的体积等于零*)，得到
\[\frac{\sqrt{-2 \text{AB}^4 t^2+12 \text{AB}^2 t^4+28 \text{AB}^2 t^2-24 t^6+432 t^4-5144 t^2}}{12 \sqrt{2}}=0\]

(*△ABC中对∠BAC=60°使用余弦定理*)得到
\[\frac{\text{AB}^2-4 t^2+36}{12 \text{AB}}=\frac{1}{2}\]

解方程组，得到
\[\begin{array}{ll}
t\to -7 & \text{AB}\to -10 \\
t\to 7 & \text{AB}\to -10 \\
t\to -\sqrt{37} & \text{AB}\to -8 \\
t\to \sqrt{37} & \text{AB}\to -8 \\
t\to -\sqrt{13} & \text{AB}\to 8 \\
t\to \sqrt{13} & \text{AB}\to 8 \\
t\to -\sqrt{19} & \text{AB}\to 10 \\
t\to \sqrt{19} & \text{AB}\to 10 \\
t\to 0 & \text{AB}\to 3 \left(1-i \sqrt{3}\right) \\
t\to 0 & \text{AB}\to 3 \left(1+i \sqrt{3}\right) \\
\end{array}\]

限制变量非负，解方程组，得到

\[\begin{array}{ll}
t\to \sqrt{13} & \text{AB}\to 8 \\
t\to \sqrt{19} & \text{AB}\to 10 \\
\end{array}\]

nyy 发表于 2024-4-9 15:00:15

http://www.360doc.com/content/23/0804/23/3606604_1091249656.shtml

这儿居然有另外一种办法

王守恩 发表于 2024-4-9 17:06:09

本帖最后由王守恩于 2024-4-9 18:23 编辑

∠BAD=a,∠ABD=b,正弦定理(3次)。
NSolve[{Sqrt/Sin==AB/Sin, 6/Sin==AB/Cos, Sqrt/Sin==6/Cos, 1>a>b>0, AB>0}, {a, b, AB}]
{{a -> 0.333473, b -> 0.114961, AB -> 10.}, {a -> 0.713724,b -> 0.281035, AB -> 8.}}
N/Sin==AB/Sin, 6/Sin==AB/Cos, Sqrt/Sin==6/Cos, 1>a>b>0, AB>0}, {a, b, AB}],20]
{{a -> 0.33347317225183211534, b -> 0.11496092050070645070, AB -> 10.000000000000000000}, {a -> 0.71372437894476563082, b -> 0.28103490150281359772, AB -> 8.0000000000000000000}}

nyy 发表于 2024-4-10 08:33:45

王守恩发表于 2024-4-9 17:06
∠BAD=a,∠ABD=b,正弦定理(3次)。

{{a -> 0.333473, b -> 0.114961, AB -> 10.}, {a -> 0.713724,b...

Clear["Global`*"];
deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
(*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
(*假设DC=t,则DB=Sqrt*t,BC=2*t *)
{DA,DB,DC}={Sqrt,Sqrt*t,t};(*三条线段长度赋值*)
{AB,BC,AC}={AB,2*t,6};(*线段长度赋值*)
ans=Solve[{
(*∠DAB+∠DAC=60°*)
ArcCos@cs+ArcCos@cs==60deg,
(*△ABC中对∠BAC=60°使用余弦定理*)
cs==Cos,
t>=0&&AB>=0(*限制变量范围*)
},{t,AB},Method->Reduce];(*用Reduce方法求解方程组*)
Grid(*列表显示*)

像我一样，用reduce来解方程组，求解结果
\[\begin{array}{ll}
t\to \sqrt{13} & \text{AB}\to 8 \\
t\to \sqrt{19} & \text{AB}\to 10 \\
\end{array}\]

nyy 发表于 2024-4-10 08:44:35

nyy 发表于 2024-4-10 08:33
像我一样，用reduce来解方程组，求解结果
\[\begin{array}{ll}
t\to \sqrt{13} & \text{AB}\to 8 \\

这次还用海伦公式，与余弦定理来解决问题。

Clear["Global`*"];
deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
(*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
(*子函数,海伦公式,利用海伦公式计算三角形的面积*)
heron:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt]
(*假设DC=t,则DB=Sqrt*t,BC=2*t *)
{DA,DB,DC}={Sqrt,Sqrt*t,t};(*三条线段长度赋值*)
{AB,BC,AC}={AB,2*t,6};(*线段长度赋值*)
ans=Solve[{
heron==heron+heron+heron,
(*△ABC中对∠BAC=60°使用余弦定理*)
cs==Cos,
t>=0&&AB>=0(*限制变量范围*)
},{t,AB},Method->Reduce];(*用Reduce方法求解方程组*)
Grid(*列表显示*)

求解结果
\[\begin{array}{ll}
t\to \sqrt{13} & \text{AB}\to 8 \\
t\to \sqrt{19} & \text{AB}\to 10 \\
\end{array}\]

hujunhua 发表于 2024-4-10 16:50:11

为什么是两解？

如图，我们把A放在原点，B放在水平轴正向滑动。C的极坐标为(6;60°)是个定点。D在红色圆弧上滑动，弧中心为原点A，半径为`\sqrt7`.
B是D绕定点C逆时针旋转60°后缩放2倍的像，所以B在紫色圆弧上滑动，弧心为`E(9,-3\sqrt3)`, 半径为`2\sqrt7`.
所以B就是紫色弧与水平轴的交点。由于`3\sqrt3<2\sqrt7`, 所以有两个交点。
两个交点至(9,0)距离`=\sqrt{(2\sqrt7)^2-(3\sqrt3)^2}=1`, 于是`AB_1=9-1=8, AB_2=9+1=10`

nyy 发表于 2024-4-11 08:11:08

hujunhua 发表于 2024-4-10 16:50
如图，我们把A放在原点，B放在水平轴正向滑动。C的极坐标为(6;60°)是个定点。D在红色圆弧上滑动，弧中心为 ...

E点坐标是怎么得到的？

nyy 发表于 2024-4-11 09:44:07

hujunhua 发表于 2024-4-10 16:50
如图，我们把A放在原点，B放在水平轴正向滑动。C的极坐标为(6;60°)是个定点。D在红色圆弧上滑动，弧中心为 ...

我觉得你的办法本质上是解析几何

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在△ABC中，∠BAC=60°，∠DBC=30°，D为△ABC內一点，连接DA、DB、DC，若∠BDC=90°

为什么是两解？