“随机向量的线性组合”的方差可以表示为矩阵乘积，背后隐藏的数学原理是什么
本帖最后由 jiewenji 于 2024-4-10 00:05 编辑随机向量\(\ X\ =\left[ x_1{,}x_2{,}x_3\ldots\right]\) ,系数向量\(c'=\left[ a{,}b{,}c\ldots\right]\)那么随机向量c'X的方差Var(c'X)=\(c'\Sigma c\)
书中没有给出严格的证明。但是给出了一个例子来验证。我的问题是如何从“线性代数”或“几何”的角度来理解“为什么随机向量c'X的方差必然可以被写成向量' *矩阵*向量的形式”
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这个问题进一步延伸：
p维随机向量X的 q个线性组合 Cov(Z) 为什么可以被写成\(\ C\Sigma_xC'\) 的形式。其中C是线性组合的系数矩阵，Cov(Z)是q个随机变量的协方差矩阵，X\(\Sigma_{x }\) 是随机向量X的协方差矩阵！ 这个结论是否可以从“线性代数”或“几何”的角度来解释“为什么随机向量Z的协方差矩阵必然可以被分解成三个矩阵的形式”
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