论坛 › 小题大作 › 已知等边△ABC，过点A作射线AD//BC，在射线AD_上取点P，连接PB，PC，求PB/PC的最大值

nyy 发表于 2024-5-6 18:29:42

hujunhua 发表于 2024-5-6 15:47
如图，阿氏圆(-E, E, a)定义为到-E和E两点的距离之比等于定值$(1+a)/(1-a)=(a^{-1}+1)/(a^{-1}-1)$的点P ...阿氏圆半径越小，比值越大，相切的时候阿圆最小，所以比值最大。
我差不多明白了！

aimisiyou 发表于 2024-5-6 22:20:22

hujunhua 发表于 2024-5-6 15:47
如图，阿氏圆(-E, E, a)定义为到-E和E两点的距离之比等于定值$(1+a)/(1-a)=(a^{-1}+1)/(a^{-1}-1)$的点P ...

阿氏圆还是复杂了，相对运动和相似比更简单些。

mathe 发表于 2024-5-7 08:43:28

其实代数法也很简单，设AB=1,AP=x
于是根据余弦定理有$BP^2=1+x+x^2, CP^2=1-x+x^2$
所以
\((\frac{BP}{CP})^2=\frac{1+x+x^2}{1-x+x^2}=1+\frac{2x}{1-x+x^2}=1+\frac{2}{\frac1x-1+x}\le1+\frac{2}{2-1}=3\)
当且仅当x=1时取等号。

nyy 发表于 2024-5-7 10:57:32

@hejoseph 托勒密不等式嘛，PA·BC+PC·AB≥PB·AC，就有PB/PC≤1+PA/PC，四点共圆时取等号。

但是这个（PB/PC≤1+PA/PC）里面有三个变量呀。如何解决这个问题呢？

aimisiyou 发表于 2024-5-7 12:34:11

利用三角不等式求解

作ABP的外接圆交BC的中垂线于E（异于A），连接PE，BE，CE。

Jack315 发表于 2024-5-8 16:54:16

参考：
胡不归故事的前世今生
https://www.bilibili.com/video/BV1C1421d7ff/

王守恩 发表于 2024-5-9 12:50:28

主帖: 已知等边△ABC,过点A作射线AD//BC,在射线AD上取点P,连接PB,PC,求PB/PC的最大值。

拓展: 已知等腰△ABC(∠ABC=顶角), 过点A作射线AD//BC, 在射线AD上取点P, 连接PB,PC, 求PB/PC的最大值。

可有通项公式？谢谢！

王守恩 发表于 2024-5-10 10:56:26

谢谢 hejoseph ！ 谢谢 hujunhua !

再拓展: 已知任意△ABC, 过点A作射线AD//BC, 在射线AD上取点P, 连接PB,PC, 求PB/PC的最大值。

谢谢 hejoseph ！ 谢谢 hujunhua !

nyy 发表于 2024-5-10 11:16:59

王守恩 发表于 2024-5-10 10:56
谢谢 hejoseph ！ 谢谢 hujunhua !

再拓展: 已知任意△ABC, 过点A作射线AD//BC, 在射线AD上取点P, 连接PB, ...

老人，阿波罗尼斯圆外切！

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