n人选数博弈的最佳策略
n个人参与选数游戏，游戏规则如下：每个人私底下秘密地选择一个正整数，选好后同时公开，然后按照下列规则判定胜负：
哪个人的数是唯一的，那个人就赢了，收益为(n-1)，其他人都是输，收益均为(-1)（例如，若3个人分别选了1、3、1，则选3的赢，选1的输）
如果有多个数都是唯一的，则在这些唯一的数中，选了最小值者赢，收益为(n-1)，其他人都是输，收益均为(-1)（例如，若4个人分别选了1、1、2、3，则选2的赢，选1、3的输）
如果所有的数都不唯一，则为平局，每个人的收益均为0（例如，若4个人分别选了1、1、2、2，则本局为平局）
假设参与者都是独立做出决定的（没有串通行为），而且这个游戏要重复N局（N趋于无穷大），每个人都希望自己N局的总收益最大
求这个博弈的纳什均衡策略。
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对于n=2和n=3的简单情况，我已经做出来了，答案如下：
当n=2时，我方以1的概率选1即可保持不败：若对方选1，则双方打平；若对方不选1，则我方获胜。无论哪种情况，我方都是不败的
因此，是n=2时的纳什均衡策略
当n=3时，三方的纳什均衡策略是以1/2的概率选1、以1/4的概率选2、以1/8的概率选3、以1/16的概率选4、以1/32的概率选5、……、依次类推直到无穷
此时，可以证明：任意一方单方面地改变他的策略，他都无法获得更高的收益（实际上，无论他选什么数，只要其余两方的策略保持不变，那么他的期望收益都是0）
因此，是n=3时的纳什均衡策略
当n>3时，我还没开始做，我感觉这个博弈的纳什均衡策略应该是一个很有趣的数列，于是发出此贴，召唤坛友们一起来解答此题。 应该把问题简化点，把正整数的定义域限制为不超过总人数。 假设n个人都只能在{1,2,3,...,m}中任选一个数，其余规则不变，那么可以证明：
当n=3、m=2时，三方的纳什均衡策略是以1/2的概率选1、以1/2的概率选2
当n=3、m=3时，三方的纳什均衡策略是以1/2的概率选1、以1/4的概率选2、以1/4的概率选3
当n=3、m=4时，三方的纳什均衡策略是以1/2的概率选1、以1/4的概率选2、以1/8的概率选3、以1/8的概率选4
……
当n=3、m=k时，三方的纳什均衡策略是以1/2的概率选1、以1/4的概率选2、以1/8的概率选3、……、以1/2^(k-1)的概率选(k-1)、以1/2^(k-1)的概率选k
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如果你有精力，可以求解一下n=4、m=4的情况 假设n个人都只能在{1,2,3,...,m}中任选一个数，其余规则不变，那么可以证明：
当n=4、m=2时，四个玩家的纳什均衡策略是以1/2的概率选1、以1/2的概率选2
当n=4、m=3时，四个玩家的纳什均衡策略是以1/2的概率选1、以1/2的概率选2、以0的概率选3
当n=4、m=4时，四个玩家的纳什均衡策略是以1/2的概率选1、以1/2的概率选2、以0的概率选3、以0的概率选4
……
当n=4、m=k时，四个玩家的纳什均衡策略是以1/2的概率选1、以1/2的概率选2、以0的概率选3、……、以0的概率选(k-1)、以0的概率选k
因此，是n=4时的纳什均衡策略
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到目前为止，n=2、n=3、n=4都求解完了，我还是没找到规律
可能还需要解出n=5、n=6的纳什均衡策略，才有可能找到规律 n=5的纳什均衡策略是
n=6的纳什均衡策略是
n=7的纳什均衡策略是
n=8的纳什均衡策略是
n=9的纳什均衡策略是
n=10的纳什均衡策略是
n=11的纳什均衡策略是
n=12的纳什均衡策略是
n=13的纳什均衡策略是
n=14的纳什均衡策略是
n=15的纳什均衡策略是
n=16的纳什均衡策略是
n=17的纳什均衡策略是
n=18的纳什均衡策略是
……
n=100的纳什均衡策略写出来太长了，把中括号里的数值画成条形图，结果如下图所示：
这些纳什均衡策略好像是一些高次方程的根，目前我只解出了上面这些数值解
解析解太复杂了，留给科技发达的后人去解吧 .·.·.问4个玩家为什么不选3（.·.·.的贴子可能被删除了），回复如下：
4个玩家，如果有3个玩家以1/2的概率选1、以1/2的概率选2，有1个玩家（你）选3，
那么当所选的4个数（排序后）是
1 1 1 3 时，你赢3分，赢的概率是1/8，
2 2 2 3 时，你赢3分，赢的概率是1/8，
1 1 2 3 时，你输1分，输的概率是3/8，
1 2 2 3 时，你输1分，输的概率是3/8，
所以你选3会以2/8的概率赢3分，以6/8的概率输1分，收益的期望值是3*(2/8)+(-1)*(6/8)=0，不赢也不输
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