庞特里亚金：数学家的天赋体现在对形势的预判
苏联数学家庞特里亚金 13 岁时因意外双目失明，但他凭借过人的天赋和毅力，在数学的世界中发现了光彩夺目的成果，终成一代大师，引领了 20 世纪数学的发展。本文摘自《庞特里亚金自传》，他在书中详细回顾了重要的人生经历以及当时苏联数学界的风风雨雨，也有一些对自己数学研究的阐释。这篇文章就讲述了他对于数学家研究工作的看法。撰文 | 庞特里亚金
翻译 | 霍晔
庞特里亚金（Lev Semyonovich Pontryagin，1908-1988）
一个数学家不会说“我在工作”，他会说“我在做研究”。这就是说，他在研究数学。他可能在读数学论文，可能在尝试证明一个新的定理，也可能在写叙述自己成果的论文。所有这些都叫“研究”。
偶尔会有人问我：数学创造，或者说数学研究的秘诀何在，也就是说新的数学成果是如何产生的。我想，完全令人满意的回答是无法给出的。А.С.普希金（《埃及之夜》）的一位主人公说：“任何天才都是无法解释的。”如果模仿普希金的口吻，也许可以说：数学创造的过程是无法解释的。
在试图解释学术创造的过程时，庞加莱认为其中相当一部分属于大脑的潜意识活动。他这样一说，其实也就回避了这个问题，因为大脑的潜意识活动是不可观察的。我想，关于数学研究的过程还是有些东西可说的，我现在来说说看。
数学结论的两种类型
数学研究的主要部分在于获得新的数学结论。我把数学结论分为两种不同类型。
第 1 类数学结论几乎不需要任何研究即可预见并预先表述出来，而研究须回答的问题是：所表述的结论正确与否。也就是说，这里可能的答案只有两个：正确或不正确。
第 2 类数学结论不经过学术研究是无法预见的。数学家对某种问题或现象进行研究，但不能预知答案。答案需要去寻找，所得出的答案就是结论。这种情况下，结论是一种全新的数学现象，或者换句话说，一个新的图景，我们需要找到这个图景，同时确认它是正确的，并且可以就所提出的问题给出解答。
对于第 1 类结论来说，主要的兴趣一般在于结论的证明，而不是它的表述。对于第2类结论来说兴趣点在于表述，而不仅仅是证明。我本人对第2类结论的兴趣远胜于前者。我举一些第 1 类和第 2 类结论的经典实例。
第 1 类结论：哥德巴赫猜想。早在 18 世纪，彼得堡科学院院士哥德巴赫就提出了以下定理：任何一个偶数都可以表示成两个素数之和。哥德巴赫猜想在于回答这个定理是否正确。
哥德巴赫猜想至今没有得到证明。И. М. 维诺格拉多夫于 1937 年证明了弱哥德巴赫猜想。弱哥德巴赫猜想的内容如下：不难看出，如果哥德巴赫定理成立，那么任何一个奇数都可以表示成三个素数之和。然而从这个定理无法推出哥德巴赫定理。当人们说维诺格拉多夫证明了哥德巴赫猜想，指的是他证明了“任何一个奇数都可以表示成三个素数之和”的定理。而要证明哥德巴赫定理本身则非常困难，因为它把整数的加法性质和乘法性质联系起来，此外，从该定理迄今为止没有得到完整证明，且已证明的部分也是颇为难解的事实也能看出它的证明难度之大。维诺格拉多夫的贡献不仅在于他证明了弱哥德巴赫猜想，更重要的是他创造了新的方法——三角和方法，他用这个方法解决了一系列数论问题，包括弱哥德巴赫猜想。
第 2 类结论：庞加莱极限环。如果一个技术或物理对象的状态可由两个量 x,y 确定，那么这两个量随时间的变化过程通常可以用两个常微分方程的方程组来描述：
这里方程的右侧跟时间 t 无关，也就是说方程组 (1) 为自治方程组。如果在平面上的每个点 (x,y) 画出相位向量 (f(x,y),g(x,y))，则微分方程组 (1) 可以解释为平面上的向量场，方程组 (1) 的解也可以解释为同一相平面上的一条曲线。为此，把 t 作为参数，在相平面上画出由解 (x(t),y(t)) 描述的曲线，这些曲线叫做方程组 (1) 的相轨迹。相轨迹彼此不相交，覆盖整个相平面，并给出微分方程组 (1) 的相平面图。向量场和相平面图是相互联系的。点 (x,y) 上的相位矢量与经过该点的相轨迹相切。
如果在给定的时间 t0 给出初始值 (x0,y0) ，则肯定可以计算出给定初始值的方程组 (1) 在任何有限时间段 t0≤t≤t1 上的解。现代计算机可以帮助得出数值解。但仅仅在有限时间段上得出数值解并不能解决与微分方程组 (1) 相关的所有问题。比如，方程组 (1) 是否有周期解，或者说是否有闭合的相轨迹的问题，是无法通过在有限时间段上求解来回答的。在时间无限增长的情况下轨迹具有何种行为的问题同样无法解决，而这对各种技术问题来说都十分重要。庞加莱注意到了这个问题，他引入了微分方程组 (1) 的相平面图，以此为基础创立了微分方程的定性理论。
庞加莱提出了定性理论中产生的基本概念——极限环。方程组 (1) 的周期解在平面上表示为闭合的相轨迹。如果轨迹附近没有其他闭合轨迹，则这个闭合的相轨迹称为极限环。我们发现，极限环附近的相轨迹在时间 t 无限增长或无限减少的情况下会像螺旋线那样缠绕在极限环上，有从里向外的，也有从外向里的。如果假定存在某种共性就可以发现，轨迹从外和从里缠绕极限环要么是在时间 t 增长时，要么是在时间 t 减少时。如果轨迹缠绕是在时间 t 增长时，则极限环是稳定解。方程组 (1) 描述的物理仪器能够在这样的极限环上工作，或者说进行稳定的周期振荡。庞加莱还注意到方程组 (1) 的平衡点的意义。平衡点是指相平面上使各微分方程 (1) 的右侧变为零的点，这些点是方程组 (1) 的常数解。平衡点附近轨迹的行为很重要。庞加莱对这些行为进行了研究，并在此基础上给出了平衡点的分类。
庞加莱创立的方程组 (1) 定性理论，是典型的第 2 类结论。显然，找到方程组 (1) 的解很重要，但只有很少的方程组可以得到公式形式的解。因此需要找到某种研究这种方程的新方法。庞加莱通过集中研究轨迹相平面图做到了这一点。他从相平面图中提取了最重要的东西，包括极限环、平衡点，以及在时间t无限增长时轨迹行为的总体特征。这样就发现了一个新的数学现象，而这个现象从方程组 (1) 是无法预见的。
30 年代，庞加莱极限环在无线电技术中得到了应用。А. А. 安德罗诺夫证实，电子管振荡器的工作符合极限环模型。此前人们曾尝试利用线性微分方程来解释电子管振荡器的工作，这当然是做不到的。庞加莱创立的微分方程定性理论在诸多数学家的论文中得到了较大的发展。其中，安德罗诺夫引入了与相平面图相关的粗糙系统的概念，这个概念以物理的观点来看很重要。我在解决一些相关问题时为他提供了些许帮助，并成为这个概念的共同创立者。
无疑，维诺格拉多夫在解决弱哥德巴赫猜想时所克服的困难比庞加莱在用几何方法研究微分方程组 (1) 时要多得多。尽管如此，在我看来庞加莱所描述的结论对于数学来说比维诺格拉多夫的结论更为有趣和重要。当然，这也许是因为，维诺格拉多夫的证明过程中有些可能的有趣之处是我无法体会的，而庞加莱的结论我很了解，我会使用它，也知道用在何处。
选择研究问题
这里浮现出一个对于数学研究来说最重要的问题。这就是课题选择的问题，是关于应该研究什么的问题。这个问题对于数学家来说可能比对于其他知识领域的专家来说更为困难。数学是作为一门纯应用科学出现的，而现在它的主要目的是研究我们周围的物质现实，为人类造福。另一方面，数学的发展有其自己的逻辑，经常会偏离实用的路线。数学家会创造出许多与应用无关，而从某种观点看却极富美感的整套理论。这种数学的美感只有数学家才能够感觉到，所以不能成为创造这种理论的理由。
但毕竟不能把那些没有用处但具有内在美感的理论看成私生子而拒之门外。它们构成了数学整体的内部组织，把它们切除掉会破坏数学的完整性。此外，最初没有任何用处后来却广为使用的概念也屡见不鲜，例如圆锥截面。我个人认为，在研究数学时经常需要回归本源，也就是数学的应用。回归应用为数学发展注入一股清流，因为从思想深处汲取的东西不可能像从应用问题中汲取的那么重要而有趣。但即便是基于应用的考量，我们还是希望选择那些本身在数学上很有趣的数学问题。做到既有用又有趣并不容易，但有时还是能兼顾的。
另外，对数学选题来说还有一种完全不同的策略，就是去尝试挑战著名的问题，也就是那些早已提出但尚未解决的问题。这种问题的极好例子是哥德巴赫猜想和费马大定理（编者注：费马大定理于 1995 年被证明）。但这种策略我感觉已经有点像竞技体育了，但科学可不是体育。科学的主要目的是让周围的物质现实听命于人类的驾驭，从而利用其为人类的生活服务。一些人认为，数学家通过解难题可以锻炼自己的大脑，以增强大脑平时解决问题的思考力。而我认为，最好是通过直接解决生活中的实用问题来锻炼自己的大脑。我觉得那种认为人们可以通过下国际象棋增强智力的说法同样是毫无根据的。我认为下象棋更多是在消耗智力。最好是通过有用的事情来增强智力。
数学的创造过程
为了解释数学创造的过程，我将从庞加莱的一句话讲起，这句话的意思如下。任何数学理论，即便是非常复杂的理论，都是由一些非常简单的逻辑环节组成的，每一个环节理解起来一点也不复杂。将所有这些简单环节复杂地编织在一起，就形成一种难以理解的、通向结论的结构。
这样，复杂的数学理论就像一段由许多结构很简单的细碎针脚组成的逻辑花边。这段复杂花边的一头是先决条件，另一头是结论。组成这段花边的每一个针脚都非常简单，而整体的编织却非常复杂。理解这种结构需要数学家的丰富经验和天分。数学创造的过程就在于编织这段一头是先决条件、一头是结论的复杂花边。
数学家又是怎样编织出通向理想目标的复杂花边的呢？根据我的理解，他在编织时先要设定花边上的结点。为了完成复杂的编织，就要正确地设定结点。先设定结点再填充剩余的空白会比直接编织整个花边容易些。为了简化问题，我们把从先决条件通向结论的复杂编织看作一个需要走过的逻辑步骤序列。
这样，理论的结点由一些中间命题构成，且每两个中间命题之间包含着几个细小的逻辑环节。如果这样的步骤序列已经设定好，那么从每个结点过渡到下一个结点就变得更简单和更显而易见。数学家使用自己的经验和联想记忆来设定这些中间结论，联想记忆可以让他通过类比捕捉不同数学命题之间的相似之处，并在从每一步骤过渡到下一步骤看似毫无把握的情况下增强信心。如果设定的步骤选择得很成功并确实通向目标，那么之后就能逐渐完成整个路径的各个分段。
上面就是根据我的观点所描绘出的数学创造性思维的大致路线图。为了建立起所述链条，需要大量试错。数学家的天分体现在对形势的快速评估上，也就是能预判出哪条路径是对的，哪条是错的，在诸多失败的尝试中突然会找出一条成功的路径。有时这被称为顿悟。其实，这是大量实践、多次从诸多歧路中选取正确路径的结果。
庞加莱认为，找到正确路径是长期潜意识活动的结果。我不能同意这个观点，起码这样的看法不一定是正确的。作为一个鲜明例证，他说有一次他恍然大悟，猜到与自同构函数（编者注：即自守函数）相联系的群，就是非欧几何中那个特定的群。
在我看来这是另外一回事。他脑子里有两个群的概念：第一个与自同构函数相联系的群，是他在寻找的，而第二个群在他脑子里已经有现成的了——这就是罗巴切夫斯基平面上的变换群。猜到或是联想到的实质在于，两个群是相同的东西。
庞加莱立刻深信不疑，并认为这是长期潜意识活动的结果。而事实上那个命题还需要进一步验证，结果证明是成立的。那个命题可能是他做出的许多错误假设之一。他的天才之处在于他能快速放弃错误的路径并快速做出一个又一个新的尝试，直到找到问题的正解。
我觉得不应该夸大潜意识在人类思维中的积极作用。我认为潜意识的作用是存储人们积累的认识，也就是被动记忆的作用。这个存储器能否在意识没有调用的情况下就将某种认识抛到意识的表面上去呢？我曾试图通过观察来搞清这个问题。有许多次，当我发现我的意识中出现某种新的映像时，我力求找到其出现的解释，而每次都发现，在我有意识地想到的东西和新出现的东西之间存在一个完全有意识的中间认识链条，每一个认识都通过很近的联想跟上一个认识相联系。所有这些联想都是可以想起来的，因为它们处于我的意识中，而绝不是潜意识中。所以，这个链条的最后一个环节并不是由我的存储器自发地抛出来的，而是通过一个个环节间的联想过渡出现的。我和妻子经常发现，我们俩的潜意识中会同时浮现相同的东西，虽然我们俩并没有谈论过这个东西，但我们俩总是能找出那个从当时我们意识到的事物过渡联想到新事物的完全有意识的链条。这样，我们俩之间进行思想隔空传递的可能性也可以排除掉了。我们俩思维中联想新事物的链条是相同的，这是因为我们俩习惯用同一种方式去思考。
另一方面，我发现在数学研究较活跃时，睡醒后脑子里的第一个念头是入睡前那个念头的延续，但是同样不清楚的是，梦中的映像是如何产生的。因此不能断言，思维中产生的每一个事物都是外部作用的结果。
但我想，庞加莱认为他脑子里突然出现的关于同构变换群和罗巴切夫斯基平面变换群是同一个群的想法，其实并不是凭空出现的，而是联想链条引发的，这个链条的起始点是外部的印象，可能是他下台阶时抓着的公共马车的把手，也可能是那些台阶。从台阶或把手到变换群之间是怎样的一个链条恐怕没法说清，但我想链条是存在的。
数学直觉是什么
跟潜意识思维的作用有关的还有一个问题，就是数学直觉是何物。数学直觉通常被理解为一个人看穿真相或解题时选择正确路径的能力。可我想，直觉在某种程度上是大量实践中积累的自动化的思维经验。有些联系很远的数学概念在人的脑子里建立联想却能如此顺利，以至于从一个概念过渡到另一个并不需要简短联想构成的链条，而是以飞跃的方式完成的。这种飞跃的能力是数学思维经验的结果。通过大量的实践建立起大量的联想——这就是数学创造的基础。
数学家在进行研究时，不会走细碎联想组成的复杂路径，而是从一个概念“跳跃”到另一个与其通过联想相联系的概念。从我自己来说，在具有诸如背诗、学外语等活动所需的正常记忆力之外，我还有非常好的联想记忆能力，使研究数学成为可能。有时我会在需要其他某种记忆的时候使用我的联想记忆，从而建立起人工联想。比如在小时候，我把德语词 brücke（桥）联想成河上悬挂的裤子。（译者注：这个德语词和俄语的“裤子”（брюки）一词的发音很相近。）这个联想至今还在起作用。虽然我英语学得远比德语好，但同义的英语词 bridge 我记得却远没有德语的 brücke 那么牢。
在我的学术工作中，我研究 n+k 维欧氏空间中的 k 维光滑标架流形的问题是从研究 n+k 维球面到 n 维球面上映射的同伦分类问题过渡而来的，其中的几个中间步骤我在前面已经讲述过。
一开始我想到问题的局域化。从局域化问题又想到问题的微分描述，然后是 n+k 维欧氏空间中的 k 维光滑流形，以及在该流形每一点上给定的正交向量组的场。在这个过程中可以清楚看到各个中间步骤，每一步都得来不易，并且每一步进展都以各类联想和我已经习惯的认识为基础。在这些步骤之后，我才证明了，从 n+k 维球面到 n 维球面上映射的同伦分类与标架流形的某种分类等价。下一个步骤——从标架流形过渡到流形 Mk 的示性闭链——已经无法得出数学上的等价性，而只能作为一条研究标架流形的途径。这是一种有时能得出结论的尝试。然而，示性闭链的应用范围却反而比标架流形要广泛得多，对于数学研究来说，这种情况也很典型。
本文摘自《庞特里亚金自传》（高等教育出版社，2024 年 3 月版），小标题为编者所加。
庞特里亚金 返朴 2024 年 07 月 22 日 08:00 北京
好长的历史呀，值得学习
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