证明题
本帖最后由 wild_pointer 于 2024-10-1 15:36 编辑证明：$$\sum_{i=1}^{n} i \cdot \binom{n}{i} \cdot 2^{-n} = \frac{n}{2}$$
其中 $$\binom{n}{i}$$ 表示组合数：从 n 个中选择 i 个的方案数。 这个挺简单的，因为
\({n\choose i}={n\choose n-i}\)
所以
\(\sum_{i=0}^n i{n\choose i}=\sum_{i=0}^n i{n\choose n-i}=\sum_{i=0}^n (n-i){n\choose i}\)
故
\(2\sum_{i=0}^n i{n\choose i}=\sum_{i=0}^n i{n\choose i}+\sum_{i=0}^n (n-i){n\choose i}=\sum_{i=0}^n n{n\choose i}=n2^n\)
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