TSC999 发表于 2024-10-12 13:21:12

计算一个 10 阶矩阵行列式的值

计算下面这个 10 阶矩阵的行列式的值：
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 1 \\
3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 1 & 2 \\
4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 1 & 2 & 3 \\
5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
7 & 8 & 9 & 10 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
8 & 9 & 10 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
9 & 10 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
10 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
\end{vmatrix}

按上面排列规律，n 阶矩阵的行列式是不是等于：\(\dfrac{n+1}{2}n^{n-1}(-1)^{n(n-1)/2}\)

如何推出上面这个公式？

这个 n 阶矩阵的排列规律是，最小数字是 1，最大数字是 n。第一行是从 1 排到 n，第一列也是从 1 排到 n。第二行等于第一行循环左移一位，第三行等于第二行循环左移一位，以此类推。
因此，当 n=2 时，第二行是 2、1，而不是 2、3。
当 n=3 时，第二行是 2、3、1，第三行是 3、1、2。
当 n=4 时，第二行是 2、3、4、1，第三行是 3、4、1、2，第四行是 4、1、2、3。
以此类推。

yigo 发表于 2024-10-12 18:19:10

下一行是上一行后移一格所得，我猜第一步，先来个后一行减前一行看看效果。

mathe 发表于 2024-10-12 18:34:13

所有行加到最后一行，最后一行变成常数，先把常数提出，最后一行变成全1。各行减去最后一行若干倍消去第一列，然后可以去掉第一行最后一列并可能改变符号。新矩阵第一列全1，将各列加上第一列若干倍把右下三角全部变化为0，这时副对角线除了第一列还是1其余都是n

aimisiyou 发表于 2024-10-12 18:59:01

mathe 发表于 2024-10-12 18:34
所有行加到最后一行，最后一行变成常数，先把常数提出，最后一行变成全1。各行减去最后一行若干倍消去第一 ...

一语惊醒梦中人

TSC999 发表于 2024-10-12 20:47:55

此题已做出，经检验结果正确：

TSC999 发表于 2024-10-12 20:52:01

具体做法见
http://kuing.infinityfreeapp.com/forum.php?mod=viewthread&tid=12827

northwolves 发表于 2024-10-15 13:03:11

Table[{k,Det]},{k,20}]//MatrixForm

1        1
2        -3
3        -18
4        160
5        1875
6        -27216
7        -470596
8        9437184
9        215233605
10        -5500000000
11        -155624547606
12        4829554409472
13        163086595857367
14        -5952860799406080
15        -233543408203125000
16        9799832789158199296
17        437950726881001816329
18        -20766159817517617053696
19        -1041273502979112415328410
20        55050240000000000000000000
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