求1/4圆的半径
腾讯视频号上看到的题目！ Clear["Global`*"];(*清除所有变量*){BF,BD}={9,Sqrt}
(*三个角相加等于90°*)
ans=Solve+2*ArcSin[(BD/2)/R]+ArcCos[(9+12)/R]==Pi/2,{R}]
三个角相加等于90°，列方程
\
解方程，得到
\[\left\{\left\{R\to -\frac{85}{4}\right\},\left\{R\to \frac{85}{4}\right\}\right\}\] 通过镜像翻转把圆补全，可得到一个“十”字形。
十字形的竖，宽度为18，高2h可通过相交弦定理获得，12·(12+18)=16(2h-16), →h=77/4
圆的半径=\(\D\sqrt{9^2+h^2} =\frac{85}{4}\)
gxqcn 发表于 2024-11-8 09:11
通过镜像翻转把圆补全，可得到一个“十”字形。
十字形的竖，宽度为18，高2h可通过相交弦定理获得，
圆的半径= ...
Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
{xb,yb}={0,16}
{xd,yd}={12,0}
{xo,yo}={-9,yo}
ans=Solve[{
(xb-xo)^2+(yb-yo)^2==R^2,(*B点在圆上*)
(xd-xo)^2+(yd-yo)^2==R^2,(*D点在圆上*)
R>0 (*限值变量范围*)
},{yo,R}]
解析几何，列方程组，
假设圆的方程是(x+9)^2+(y-yo)^2=R^2
BD两点在圆上，C为原点，CD为x轴，CB为Y轴。
解方程组，得到
\[\left\{\left\{\text{yo}\to -\frac{13}{4},R\to \frac{85}{4}\right\}\right\}\] OF=16+x,9^2+(16+x)^2=x^2+(9+12)^2=R^2
这个方法也可以 没有什么是方程组解决不了的问题！
Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
(*列出两个方程所构成的方程组*)
eqns={
(*∠AOE=90°,等于4个小角相加*)
ArcSin+ArcCos@cs+ArcCos@cs+ArcCos[(9+12)/r]==90deg,
(*余弦定理与反余弦函数,∠BCO+∠DCO=270°*)
ArcCos@cs+ArcCos@cs==270deg
}
(*牛顿迭代法求解方程组,并且去掉虚部非常小的部分*)
aa=Chop@FindRoot
(*由高精度数值解得到精确解*)
bb=RootApproximant[{OC,r}/.aa]
方程组为
\[\left\{\cos ^{-1}\left(\frac{\text{OC}^2+r^2-256}{2 \text{OC} r}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{\text{OC}^2+r^2-144}{2 \text{OC} r}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{9}{r}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{21}{r}\right)=\frac{\pi }{2},\cos ^{-1}\left(\frac{\text{OC}^2-r^2+144}{24 \text{OC}}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{\text{OC}^2-r^2+256}{32 \text{OC}}\right)=\frac{3 \pi }{2}\right\}\]
方程组的数值解为
{OC -> 9.56882960450231865241539711148, r -> 21.2500000000000000000000000000}
精确解为
\[\left\{\frac{\sqrt{1465}}{4},\frac{85}{4}\right\}\]
mathe 发表于 2024-11-10 07:58
这个方法也可以
Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
(*利用余弦定理、反余弦函数、正弦定理,求解问题*)
20/Sin]/2
求解结果
85/4=21.25
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