x,y,z>0, 在 x^2+y^2+z^2=27 和 xyz=8 约束条件下求 x+y+z 的最大值和最小值
已知 x>0, y>0, z>0，在约束条件 x^2+y^2+z^2=27 和 x y z = 8 下求 x+y+z 的最大值和最小值的精确解。 kkt条件，万能的 本帖最后由 TSC999 于 2025-1-9 10:39 编辑用 mathematica 求得的近似数字解是：最小值 ≈ 7.43318, 此时 x = z ≈ 1.28172,y ≈ 4.86974。
最大值 ≈ 7.89983, 此时 x = y ≈ 3.64961,z ≈ 0.600617。
但是近似数字解不符合题目要求，要求的是精确的理论解 —— 这个精确解是存在的。 本帖最后由 nyy 于 2025-1-9 10:44 编辑
TSC999 发表于 2025-1-9 10:35
用 mathematica 求得的近似数字解是：最小值 ≈ 7.43318, 此时 x = z ≈ 1.28172,y ≈ 4.86974。
最大值...
三次方程根与系数的关系？然后用判别式小于零？？？？？ 解下列方程组：
方程 1 —— \(x^2+y^2+z^2=27\)
方程 2 —— \(xyz=8\)
方程 3 —— \(x=y\) 或 \(y=z\) 或 \(z=x\) 这三个方程中的任何一个。
共有 6 个解，其中有 2 个满足 \(x>0,y>0,z>0\) 的实数解。
求出 \(x+y+z\) 的值，与 2 个解对应的一个为最大值，另一个为最小值。 TSC999 发表于 2025-1-9 10:35
用 mathematica 求得的近似数字解是：最小值 ≈ 7.43318, 此时 x = z ≈ 1.28172,y ≈ 4.86974。
最大值...
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
f=x+y+z+x1*(x^2+y^2+z^2-27)+x2*(x*y*z-8)
ans=Chop@NSolve==0,{x,y,z,x1,x2}]
Grid(*列表显示*)
\[\begin{array}{lllll}
z\to -5.47036 & y\to 0.\, -1.20931 i & x\to 0.\, -1.20931 i & \text{x1}\to 0.087143\, -0.0192643 i & \text{x2}\to 0.03186\, +0.14412 i \\
z\to -5.47036 & y\to 0.\, +1.20931 i & x\to 0.\, +1.20931 i & \text{x1}\to 0.087143\, +0.0192643 i & \text{x2}\to 0.03186\, -0.14412 i \\
z\to -3.64961 & y\to -3.64961 & x\to 0.600617 & \text{x1}\to 0.163989 & \text{x2}\to -0.0898665 \\
z\to -3.64961 & y\to 0.600617 & x\to -3.64961 & \text{x1}\to 0.163989 & \text{x2}\to -0.0898665 \\
z\to -1.28172 & y\to -1.28172 & x\to 4.86974 & \text{x1}\to -0.139352 & \text{x2}\to 0.217446 \\
z\to -1.28172 & y\to 4.86974 & x\to -1.28172 & \text{x1}\to -0.139352 & \text{x2}\to 0.217446 \\
z\to 0.\, -1.20931 i & y\to -5.47036 & x\to 0.\, -1.20931 i & \text{x1}\to 0.087143\, -0.0192643 i & \text{x2}\to 0.03186\, +0.14412 i \\
z\to 0.\, -1.20931 i & y\to 0.\, -1.20931 i & x\to -5.47036 & \text{x1}\to 0.087143\, -0.0192643 i & \text{x2}\to 0.03186\, +0.14412 i \\
z\to 0.\, +1.20931 i & y\to -5.47036 & x\to 0.\, +1.20931 i & \text{x1}\to 0.087143\, +0.0192643 i & \text{x2}\to 0.03186\, -0.14412 i \\
z\to 0.\, +1.20931 i & y\to 0.\, +1.20931 i & x\to -5.47036 & \text{x1}\to 0.087143\, +0.0192643 i & \text{x2}\to 0.03186\, -0.14412 i \\
z\to 0.600617 & y\to -3.64961 & x\to -3.64961 & \text{x1}\to 0.163989 & \text{x2}\to -0.0898665 \\
z\to 0.600617 & y\to 3.64961 & x\to 3.64961 & \text{x1}\to -0.117641 & \text{x2}\to -0.0644677 \\
z\to 1.28172 & y\to 1.28172 & x\to 4.86974 & \text{x1}\to -0.0812815 & \text{x2}\to -0.126832 \\
z\to 1.28172 & y\to 4.86974 & x\to 1.28172 & \text{x1}\to -0.0812815 & \text{x2}\to -0.126832 \\
z\to 3.64961 & y\to 0.600617 & x\to 3.64961 & \text{x1}\to -0.117641 & \text{x2}\to -0.0644677 \\
z\to 3.64961 & y\to 3.64961 & x\to 0.600617 & \text{x1}\to -0.117641 & \text{x2}\to -0.0644677 \\
z\to 4.86974 & y\to -1.28172 & x\to -1.28172 & \text{x1}\to -0.139352 & \text{x2}\to 0.217446 \\
z\to 4.86974 & y\to 1.28172 & x\to 1.28172 & \text{x1}\to -0.0812815 & \text{x2}\to -0.126832 \\
\end{array}\] 约束条件是球面与双曲面的交线。
x+y+z=a 是目标函数的等值面。
第一卦限内的极值点在边界点上：x=y 或 y=z 或 z=x . 假设Y=x+y+z, 那么$Y^2=(x+y+z)^2=27+2(xy+yz+zx)$,所以$xy+yz+zx=\frac{Y^2-27}2$
于是三个正数x,y,z是关于X的方程$X^3-YX^2+\frac{Y^2-27}2 X-8=0$的三个正根。
做这个关于X-Y的椭圆曲线图像如下
显然只有右上角一小块地方满足对于某个Y会同时有三个正X相对应。
为了求得Y的严格范围，我们可以把上面曲线看成关于Y的隐函数，对X求导得到
$3X^2-Y'X^2-2YX+XYY'+\frac{Y^2-27}2=0$
所以$Y'=0$时有
\(3X^2-2XY+\frac{Y^2-27}2=0\)
结合
\(X^3-YX^2+\frac{Y^2-27}2 X-8=0\)
得到
\(Y^6 - 108*Y^4 - 160*Y^3 + 3645*Y^2 + 7776*Y - 32454=0\)
这个方程有四个实数解
-6.6985961878136319617492671472042938571,
2.3063112395817975101916803180909021902，
7.4331766979730885684226465223237435547，
7.8998308086597064153004611878858015060
结合上面图像意义，x+y+z取值在较大两个根之间，也就是后两个数之间。 我们可以修改一下数据,让\(x^2+y^2+z^2=28,xyz=24\)
那么可以得到x+y+z的范围在\(4+2\sqrt{6}\)和\(2+4\sqrt{3}\)之间
TSC999 发表于 2025-1-9 10:35
用 mathematica 求得的近似数字解是：最小值 ≈ 7.43318, 此时 x = z ≈ 1.28172,y ≈ 4.86974。
最大值...
$k=18 \cos \left(\frac{1}{3} arccos\left(\frac{601}{729}\right)\right);x+y+z<=\sqrt{2 (k+9)}-\frac{1}{16} (k+9) (k-18)$
or
$\theta=\frac{1}{3} arccos\left(\frac{601}{729}\right),x+y+z<=\frac{81}{8} (\cos (\theta)-\cos (2\theta))+\sqrt{36 \cos (\theta)+18}$
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