求曲线方程
平直薄膜做的水渠，求红色曲线方程，抛物线？悬链线？其他？ 在水平面处明显存在边界，所以不可能是一致发散的抛物线或者悬链线。假定水无限深又行不通。 数学物理方程，忙活半晌，最后发现还是只能整一个数值解。:lol 四来 发表于 2025-2-14 20:03
数学物理方程，忙活半晌，最后发现还是只能整一个数值解。
方程列出来看看 以水面左上角为原点，水平向右为x轴，向下为z轴，假设薄膜完全柔软（无弯曲刚度），不可伸长，只考虑水的压强作用在薄膜上（薄膜上只有法向压力，没有切向力），则平面内薄膜拉力T/R=Cz，T为定值，C为常数，R为曲线半径，即Rz=常数。然后就是边界条件了。 本帖最后由 倪举鹏 于 2025-2-17 16:25 编辑
k*D(2)(y)(x) = (h-y(x))*(1+(D(y))(x)^2)^(3/2),y(0) = 0, (D(y))(0) = 0 本帖最后由 yigo 于 2025-2-21 16:51 编辑
以水面左上角为原点，水平向右为x轴，向下为z轴，假设薄膜完全柔软（无弯曲刚度），不可伸长，只考虑水的压强作用在薄膜上（薄膜上只有法向压力，没有切向力），则平面内薄膜拉力T/R=Cz，T为定值，C为常数，R为曲率半径，即Rz=常数。然后就是边界条件了。
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再写详细点
考虑到水渠很长取单位宽度的拉力计为\(\tau_0\)，原点处薄膜与x轴的夹角为\(\theta_0\),
微分方程为\(\frac{\tau_0}{R}=\rho gz\),\(R=-\frac{\dif s}{\dif\theta}=-\frac{\dif z}{\sin\theta \dif\theta}\),
故\(z\dif z=-\frac{\tau_0}{\rho g}\sin\theta \dif\theta\),
积分得：\(z^2=\frac{2\tau_0}{\rho g}(\cos\theta-\cos\theta_0)\),令\(A^2=\frac{2\tau_0}{\rho g}\),
则：\(\cos\theta=\cos\theta_0+(\frac{z}{A})^2\),\(\sin\theta=\sqrt{1-(\cos\theta_0+(\frac{z}{A})^2)^2}\)
则：\(\frac{\dif z}{\dif x}=\tan\theta=\frac{\sqrt{1-(\cos\theta_0+(\frac{z}{A})^2)^2}}{\cos\theta_0+(\frac{z}{A})^2}\),
\(x=0\)时\(z=0\),形状由\(\tau_0,\theta_0\)唯一确定，不改变角度，只改变张拉力的大小，曲线形状是缩放关系。
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