论坛 › 算法交流 › 寻找平方数的代码

数论爱好者 发表于 2025-3-9 16:48:44

寻找平方数的代码

想用maple软件尝试寻找下面数列中哪个数是平方数或者是立方数。初步尝试到1000位数左右停止搜索。在下面这三个数列中寻找
1：自然数系列，1,12,123,1234,12345...
2：奇数系列：1,13,135,1357,13579,1357911...
3：偶数系列：2,24,246,2468,246810...

1.论坛里的高手们，请人工分析一下可能性，概率有多大，再去讨论代码，如果没有，就不必去写代码了。
2.AI写的代码效率太低，20分钟没有出结果，我关闭了软件。

# 生成自然数系列的第n项
naturalSeries := proc(n)
    local i, result;
    result := "";
    for i from 1 to n do
      result := cat(result, i);
    end do;
    return parse(result);
end proc:

# 生成奇数系列的第n项
oddSeries := proc(n)
    local i, result;
    result := "";
    for i from 1 to n do
      result := cat(result, 2*i-1);
    end do;
    return parse(result);
end proc:

# 生成偶数系列的第n项
evenSeries := proc(n)
    local i, result;
    result := "";
    for i from 1 to n do
      result := cat(result, 2*i);
    end do;
    return parse(result);
end proc:

# 判断一个数是否为平方数或立方数
isSquareOrCube := proc(num)
    local sqrtNum, cbrtNum;
    if num < 0 then
      return "非平方数和立方数";
    end if;
    sqrtNum := sqrt(num);
    cbrtNum := num^(1/3);
    if evalf(sqrtNum)^2 = num then
      return "平方数";
    elif evalf(cbrtNum)^3 = num then
      return "立方数";
    else
      return "非平方数和立方数";
    end if;
end proc:

# 搜索自然数系列中的平方数和立方数
searchNaturalSeries := proc(maxLength)
    local n, num, result;
    for n from 1 to maxLength do
      num := naturalSeries(n);
      result := isSquareOrCube(num);
      if result <> "非平方数和立方数" then
            print(cat("自然数系列第", n, "项：", num, " 是", result));
      end if;
    end do;
end proc:

# 搜索奇数系列中的平方数和立方数
searchOddSeries := proc(maxLength)
    local n, num, result;
    for n from 1 to maxLength do
      num := oddSeries(n);
      result := isSquareOrCube(num);
      if result <> "非平方数和立方数" then
            print(cat("奇数系列第", n, "项：", num, " 是", result));
      end if;
    end do;
end proc:

# 搜索偶数系列中的平方数和立方数
searchEvenSeries := proc(maxLength)
    local n, num, result;
    for n from 1 to maxLength do
      num := evenSeries(n);
      result := isSquareOrCube(num);
      if result <> "非平方数和立方数" then
            print(cat("偶数系列第", n, "项：", num, " 是", result));
      end if;
    end do;
end proc:

# 执行搜索
searchNaturalSeries(1000);
searchOddSeries(1000);
searchEvenSeries(1000);

northwolves 发表于 2025-3-9 18:07:33

后四位：{2324, 3536, 4041, 4849, 5556, 8081, 8384, 8889}

后四位：{1921, 2224, 2729, 4244, 5456, 5961, 6769, 7476}

后六位：{103104,120121,128129,160161,168169,183184,200201,203204,208209,224225,235236,240241,248249,280281,288289,295296,320321,328329,360361,363364,368369,375376,395396,400401,408409,423424,440441,448449,480481,488489,503504,520521,523524,528529,555556,560561,568569,600601,608609,615616,640641,648649,680681,683684,688689,695696,715716,720721,728729,743744,760761,768769,800801,808809,823824,840841,843844,848849,875876,880881,888889,920921,928929,935936,960961,968969}

后六位：{103104,120121,128129,160161,168169,183184,200201,203204,208209,224225,235236,240241,248249,280281,288289,295296,320321,328329,360361,363364,368369,375376,395396,400401,408409,423424,440441,448449,480481,488489,503504,520521,523524,528529,555556,560561,568569,600601,608609,615616,640641,648649,680681,683684,688689,695696,715716,720721,728729,743744,760761,768769,800801,808809,823824,840841,843844,848849,875876,880881,888889,920921,928929,935936,960961,968969}

northwolves 发表于 2025-3-9 18:08:11

直觉只有1满足条件

数论爱好者 发表于 2025-3-10 07:40:14

northwolves 发表于 2025-3-9 18:08
直觉只有1满足条件

你的末尾数法简单直观，我能看懂。只需验证很少的几个数据即可，不上100个。六位尾数重复了，还是只有这一种？立方数的尾数还没有。

AI的这种分析可能不严谨，有什么问题吗？
AI的理论分析：
数列1：自然数连接（1, 12, 123, 1234, 12345, ...）
构造方式：将自然数1到n依次连接。

关键分析：

末位数字：当n≥2时，末位为2,3,4,...,9,0，循环出现。平方数的末位只能是0,1,4,5,6,9，立方数末位可为0,1,4,5,6,7,8,9。

模9分析：数的数字和为1+2+…+n = n(n+1)/2。平方数模9余0,1,4,7，立方数模9余0,1,8。例如：

n=2时，数字和3 → 模9余3，既非平方也非立方余数。

n=4时，数字和10 → 模9余1，可能为平方或立方数，但1234本身不符。

数值检查：前几项（如12, 123, 1234）均非平方或立方数，且随着n增大，数值增长速度远超平方/立方数。

结论：除1外，无其他平方数或立方数。

数列2：奇数连接（1, 13, 135, 1357, 13579, ...）
构造方式：将前n个奇数依次连接。

关键分析：

数字和：前n个奇数之和为n²，故数本身模9余n² mod9（可能余0,1,4,7）。

末位分析：末位为1,3,5,7,9。平方数末位若为奇数，只能是1,5,9；立方数末位可为1,3,5,7,9。

数值检查：

13（n=2）：非平方/立方。

135（n=3）：平方根≈11.6，立方根≈5.1，均非整数。

更大项因数值庞大，无法成为平方/立方数。

结论：除1外，无其他平方数或立方数。

数列3：偶数连接（2, 24, 246, 2468, 246810, ...）
构造方式：将前n个偶数依次连接。

关键分析：

末位与4的倍数：偶数平方数必须为4的倍数。检查发现：

n=2时，24是4的倍数，但24非平方数。

n=3时，246末位6，但246/4=61.5，余2，非4倍数。

n=4时，2468末位8，2468/4=617，但平方根≈49.68，非整数。

模9分析：数字和为n(n+1)，模9余数不符合平方/立方要求。

结论：无平方数；立方数同样不存在。

最终结论：
三个数列中，除了数列1的首项1（既是1²也是1³）外，均不存在其他平方数或立方数。

数论爱好者 发表于 2025-3-10 07:46:24

数论爱好者 发表于 2025-3-10 07:40
你的末尾数法简单直观，我能看懂。只需验证很少的几个数据即可，不上100个。六位尾数重复了，还是只有这 ...

如果从尾数研究着手，逐步向前推进，只是种类太多无法处理。

以下是一些别人的规律，是否完全正确，未逐条验证。
如果一个正整数a是某一个整数b的平方，那么这个正整数a叫做完全平方数。零也可称为完全平方数。其性质如下：

(1)平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9。

(2)任何偶数的平方一定能被4整除;任何奇数的平方被4(或8)除余1，即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

(3)完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数。完全平方数的个位数字是6时，其十位数字必为奇数。

(4)凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数;末尾只有奇数个0的自然数不是完全平方数;个位数字是1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

(5)除1外，一个完全平方数分解质因数后，各个质因数的指数都是偶数，如果一个数质分解后，各个指数都为偶数，那么它肯定是个平方数。完全平方数的所有因数的总个数是奇数个。因数个数为奇数的自然数一定是完全平方数。

(6)如果a、b是平方数，a=bc，那么c也是完全平方数。

(7)两个连续自然数的乘积一定不是平方数，两个连续自然数的平方数之间不再有平方数。

(8)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1。

(9)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型。

(10)形式必为下列两种之一：3k,3k+1。

(11)不是5的因数或倍数的数的平方为5k+-1型，是5的因数或倍数的数为5k型。

(12)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。

(13)一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。
（14）连续整数平方数间隔：在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
（15）约数个数奇偶性：完全平方数的约数个数是奇数，约数个数为奇数的自然数也是完全平方数。
末位数字规律：完全平方数的个位是6时，其十位是奇数；个位是0时，后面连续的0的个数一定是偶数；个位是5时，其十位一定是2，且其百位一定是0, 2, 6中的一个。
完全平方数的综合运用：自然数的平方末两位只有特定的几种组合，如00, 01, 21, 41, 61, 81, 04, 24, 44, 64, 84, 25, 09, 29, 49, 69, 89, 16, 36, 56, 76, 96。
个位数字奇偶性：完全平方数个位数字是奇数(1, 5, 9)时，其十位上的数字必为偶数；个位数字是偶数(0, 4)时，其十位上的数字必为偶数；个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
非完全平方数的特征：凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1, 4, 9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

查看完整版本: 寻找平方数的代码