二进制的颠倒数

王守恩

二进制数。正整数A×颠倒数(A)=正整数B×颠倒数(B)。譬如:

8609375=2375(100101000111)×(111000101001)3625=2755(101011000011)×(110000110101)3125,
10171175=2527(100111011111)×(111110111001)4025=3059(101111110011)×(110011111101)3325,
30832795=4555(1000111001011)×(1101001110001)6769=4835(1001011100011)×(1100011101001)6377,
17218750=4750(1001010001110)×(1110001010010)7250=5510(1010110000110)×(1100001101010)6250,x
35034175=4775(1001010100111)×(1110010101001)7337=5539(1010110100011)×(1100010110101)6325,
38354311=4847(1001011101111)×(1111011101001)7913=5371(1010011111011)×(1101111100101)7141,
39795975=4959(1001101011111)×(1011111010011)6099=6525(1100101111101)×(1111101011001)8025,
20342350=5054(1001110111110)×(1011111100110)6118=6650(1100111111010)×(1111101110010)8050,x
41227615=5819(1011010111011)×(1101110101101)7085=5995(1011101101011)×(1101011011101)6877,
51672925=6575(1100110101111)×(1111010110011)7859=6775(1101001110111)×(1110111001011)7627,

得到一串数——2375, 2527, 4555, 4750x, 4775, 4847, 4959, 5054x, 5819, 6575, ......——OEIS没有这串数。

3组解的。2371610879733375,
=36861615(10001100100111011010101111)×(11110101011011100100110001)64338225,
=36915375(10001100110100100010101111)×(11110101000100101100110001)64244529,
=45955875(10101111010011101100100011)×(11000100110111001011110101)51606261,

4组解？5组解？6组解？还会有吗？！

王守恩

接1楼——就是这串数——2375, 2527, 4555, 4775, 4847, 4959, 5819, 6575, 9035, 9115, 9135, 9179, 9287, 9359, 9575, 9583, 9823, 11039, 11451, 13135, 17675, ...——没有偶数, 至少2组解。

目的很明确: 拿这二进制的颠倒数与十进制的颠倒数比较,会不会来点启发,十进制的颠倒数太难了！

王守恩

这题目太难了——要不降低难度——二进制的颠倒数——其中有一组解=二进制的回文数——好像没有答案——来1个就行——好奇——我这电脑不行！
1(1)=(1)1,
3(11)=(11)3,
5(101)=(101)5,
7(111)=(111)7,
9(1001)=(1001)9,
15(1111)=(1111)15,
17(10001)=(10001)17,
21(10101)=(10101)21,
27(11011)=(11011)27,
31(11111)=(11111)31,
33(100001)=(100001)33,
45(101101)=(101101)45,
51(110011)=(110011)51,
63(111111)=(111111)63,
65(1000001)=(1000001)65,
73(1001001)=(1001001)73,

1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, 45, 51, 63, 65, 73, 85, 93, 99, 107, 119, 127, 129, 153, 165, 189, 195, 219, 231, 255, 257, 273,

northwolves

王守恩 发表于 2025-3-16 09:13
这题目太难了——要不降低难度——二进制的颠倒数——其中有一组解=二进制的回文数——好像没有答案——来1 ...

1. Select[Range@1000,IntegerReverse[#,2]==#&]

复制代码

{1,3,5,7,9,15,17,21,27,31,33,45,51,63,65,73,85,93,99,107,119,127,129,153,165,189,195,219,231,255,257,273,297,313,325,341,365,381,387,403,427,443,455,471,495,511,513,561,585,633,645,693,717,765,771,819,843,891,903,951,975}

northwolves

A006995
Binary palindromes: numbers whose binary expansion is palindromic.


0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, 45, 51, 63, 65, 73, 85, 93, 99, 107, 119, 127, 129, 153, 165, 189, 195, 219, 231, 255, 257, 273, 297, 313, 325, 341, 365, 381, 387, 403, 427, 443, 455, 471, 495, 511, 513, 561, 585, 633, 645, 693, 717, 765, 771, 819, 843

王守恩

northwolves 发表于 2025-3-16 23:43
A006995
Binary palindromes: numbers whose binary expansion is palindromic.

A006995——二进制回文数。

二进制数。回文数(A)×回文颠倒数(A)=正整数(B)×颠倒数(B)。好像没有答案——来1个就行——好奇——我这电脑不行！

northwolves

王守恩 发表于 2025-3-17 05:40
A006995——二进制回文数。

二进制数。回文数(A)×回文颠倒数(A)=正整数(B)×颠倒数(B)。好像没有答案— ...

10^8以内就这三个： {9, 403, 765}

王守恩

悬赏一下？

二进制数。回文数(A)×回文颠倒数(A) = 正整数(B)×颠倒数(B)。好像没有答案——来1个就行——好奇——我这电脑不行！

回文数(A)×回文颠倒数(A),  即:  回文数(A) = 回文颠倒数(A)。
回文数(A)是这样一串数——{1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, 45, 51, 63, 65, 73, 85, 93, 99, 107, 119, 127, 129, 153, 165, 189, 195, 219, 231, 255, 257, 273, 297, 313, 325, 341, 365, 381, 387, 403, 427, 443, 455, 471, 495, 511, 513, 561, 585},
Select[Range@1000, IntegerReverse[#, 2] == # &]——A006995——二进制回文数。

正整数(B)×颠倒数(B),   注意:  正整数(B) ≠ 颠倒数(B)。
正整数(B)是这样一串数——{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60},
LinearRecurrence[{2, -1}, {1, 2}, 80]——A028310—— Jan 29 2025。
颠倒数(B)是这样一串数——{1, 1, 3, 1, 5, 3, 7, 1, 9, 05, 13, 03, 11, 07, 15, 01, 17, 09, 25, 05, 21, 13, 29, 03, 19, 11, 27, 07, 23, 15, 31, 01, 33, 17, 49, 09, 41, 25, 57, 05, 37, 21, 53, 13, 45, 29, 61, 03, 35, 19, 51, 11, 43, 27, 59, 07, 39, 23, 55, 15},
Table[IntegerReverse[i, 2], {i, 80}]——A030101——也就是将正整数(B)转换为二进制数。

王守恩

二进制回文数(A)×二进制回文数(A)的颠倒数(还是二进制数) = 二进制正整数(B)×二进制正整数(B)的颠倒数(还是二进制数)。A≠B, 是没有解的, 如何证明?