论坛 › 趣题妙解 › 求积分

wayne 发表于 2025-3-24 09:01:50

求积分

求积分，需要初等的实数的原函数表达。
这类题用Mathematica软件可能失效，然后我找到了新的出路，特分享出来。

1) $f(3)=\int \frac{1}{x^3+x+1}dx$
2) $f(n)=\int \frac{1}{x^n+x+1}dx$

wayne 发表于 2025-3-25 18:35:30

软件直接求解无法给出显式表达。但是我们知道$x^3+x+1$有一个实根，两个共轭复根，那么其实是可以分解成$x^3+x+1=(x-a)((x+b)^2+c^2)$， 其中$a,b,c$是实数（就是代数数）。
于是换种表达，软件轻松给出解析式， $\int \frac{1}{(x-a) ((b+x)^2+c^2)} \ dx =\frac{c (2 \log (x-a)-\log (b^2+2 b x+c^2+x^2))-2 (a+b) \tan ^{-1}(\frac{b+x}{c})}{2 c (a^2+2 a b+b^2+c^2)}$
然后，我们把$x^3+x+1=(x-a)((x+b)^2+c^2)$ 里的$a,b,c$代入上面的形式就行，这就比较有趣了。

mathe 发表于 2025-3-25 20:07:10

你这个基本上是标准解法，关键问题是对于一般的n,我们无法给出实数范围因式分解的解析形式

wayne 发表于 2025-3-25 20:46:45

最初源自于知乎的一道题： https://www.zhihu.com/question/516442327
对于一般的n，好像可以证明，如果n是奇数，那么有一个实根，n-1个共轭复根。如果n是偶数，就是n个共轭复根。，于是我们只需要把$x^{2m}+x+1$或者$x^{2m+1}+x+1$分离成$m$个二次式。
对于特定的值，倒是容易求解。但是一般性的分析，貌似只能到这一步，没法递推了。。。
可能题目没出好，只是隐隐感觉，从代数层面有一个很不错的结论。

wayne 发表于 2025-3-25 21:27:57

mathe 发表于 2025-3-25 20:07
你这个基本上是标准解法，关键问题是对于一般的n,我们无法给出实数范围因式分解的解析形式 ...

以n=7为例。$x^7 + x + 1=0$,将$x=a+b i$代入，分别令虚实为0，得到$1 + a + a^7 - 21 a^5 b^2 + 35 a^3 b^4 - 7 a b^6=0$,$ b + 7 a^6 b -35 a^4 b^3 + 21 a^2 b^5 - b^7=0$,消元，
得到复数根的实部a是方程的实根$1 - 18 a + 108 a^2 - 216 a^3 - 36992 a^7 - 7680 a^8 - 27136 a^9 - 933888 a^14 - 819200 a^15 + 2097152 a^21=0$
复数根的虚部b是方程的实根$4398046511104 b^{42}-962072674304 b^{36}-2878701830144 b^{30}-3222567649280 b^{28}-600825659392 b^{24}-1571001729024 b^{22}+44643909632 b^{18}-80249487360 b^{16}+98305622016 b^{14}-1101979648 b^{12}+3707604992 b^{10}-2349215232 b^8+11769408 b^6-32154192 b^4+12706092 b^2-870199=0$

RootReduce]==0],{a,b},Reals]]
Factor]==0],{},a]]

数论爱好者 发表于 2025-3-26 07:45:11

本帖最后由 数论爱好者 于 2025-3-26 07:46 编辑

对于这个问题，你发帖的单天，我就用AI求解了一下，但我不太懂积分，不能判断对错，不敢回复，今天看到你的答案后，你的用a，b，c三个字母，AI的用了一个字母，你判断一下，AI的做法是否正确？末尾字母是：+C

wayne 发表于 2025-3-26 08:55:26

$n=3$的时候，我的结果，其中$r$是$x^3+x+1=0$的实数根。
$\int \frac{1}{(x-r) (r^2+r x+x^2+1)} dx = -\frac{\log (r^2+r x+x^2+1)}{6 r^2+2}+\frac{\log (x-r)}{3 r^2+1}-\frac{3 r \tan ^{-1}(\frac{r+2 x}{\sqrt{3 r^2+4}})}{\sqrt{3 r^2+4} (3 r^2+1)}+C$

mathe 发表于 2025-3-26 09:34:17

(09:33) gp > r=Mod(r,r^3+r+1)
%1 = Mod(r, r^3 + r + 1)
(09:33) gp > 1/(3*r^2+1)
%2 = Mod(6/31*r^2 - 9/31*r + 4/31, r^3 + r + 1)
(09:33) gp > -r/(2*r+3)
%3 = Mod(6/31*r^2 - 9/31*r + 4/31, r^3 + r + 1)
(09:33) gp > r/(2*(2*r+3))
%4 = Mod(-3/31*r^2 + 9/62*r - 2/31, r^3 + r + 1)
(09:33) gp > -1/(6*r^2+2)
%5 = Mod(-3/31*r^2 + 9/62*r - 2/31, r^3 + r + 1)

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