如图，以 \(\overline{BC}\) 为正方向定义直线 \(BC\) 上的有向线段方向，\(BC=a\)，\(DE/AE=k\)，则
\begin{align*}
\overline{BE}&=\frac{2k\csc A\cos B\sin C-1-\sqrt{1+4k\csc A\sin B\sin C(\cot D-k\csc A\sin B\sin C)}}{2(k-1)}a\\
\overline{EC}&=\frac{2k\csc A\sin B\cos C-1+\sqrt{1+4k\csc A\sin B\sin C(\cot D-k\csc A\sin B\sin C)}}{2(k-1)}a\\
\end{align*}
（此时点 \(D\) 在直线 \(BC\) 上的正射影与点 \(C\) 在 \(BC\) 中点的同侧）
或
\begin{align*}
\overline{BE}&=\frac{2k\csc A\cos B\sin C-1+\sqrt{1+4k\csc A\sin B\sin C(\cot D-k\csc A\sin B\sin C)}}{2(k-1)}a\\
\overline{EC}&=\frac{2k\csc A\sin B\cos C-1-\sqrt{1+4k\csc A\sin B\sin C(\cot D-k\csc A\sin B\sin C)}}{2(k-1)}a\\
\end{align*}
（此时点 \(D\) 在直线 \(BC\) 上的正射影与点 \(B\) 在 \(BC\) 中点的同侧） 对于 \(\angle A=90^\circ\)，\(\angle B=30^\circ\)，\(\angle C=60^\circ\)，\(\angle D=60^\circ\)，\(k=3/2\)，代入楼上第一组式子就得
\[
\overline{BE}=\frac{5-\sqrt{13}}{4}a，\overline{EC}=\frac{-1+\sqrt{13}}{4}a，
\]
那么
\[
\overline{EC}=\frac{\dfrac{-1+\sqrt{13}}{4}a}{\dfrac{5-\sqrt{13}}{4}a}\times 4=\frac{8+4\sqrt{13}}{3}
\] 本帖最后由 hejoseph 于 2025-4-8 14:09 编辑
\begin{align*}
&AB=\frac{\sin C}{\sin A}a，AC=\frac{\sin B}{\sin A}a\\
&AE_1=AB\sin B=\frac{\sin B\sin C}{\sin A}a，BE_1=AB\cos B=\frac{\cos B\sin C}{\sin A}a，CE_1=AC\cos C=\frac{\sin B\cos C}{\sin A}a\\
&DE_2=kAE_1=\frac{k\sin B\sin C}{\sin A}a\\
&BM=MC=\frac{a}{2}\\
&\angle BOM=\angle MOC=\angle D\\
&OB=OC=OD=\frac{a}{2\sin D}\\
&OM=OB\cos\angle BOM=\frac{a}{2}\cot D\\
&DP=DE_2-OM=\frac{k\sin B\sin C}{\sin A}a-\frac{a}{2}\cot D\\
&OP=\sqrt{OD^2-DP^2}=\sqrt{\left(\frac{a}{2\sin D}\right)^2-\left(\frac{k\sin B\sin C}{\sin A}a-\frac{a}{2}\cot D\right)^2}=\frac{\sqrt{1+4k\csc A\sin B\sin C(\cot D-k\csc A\sin B\sin C)}}{2}a\\
&BE_2=BM+OP=\frac{1+\sqrt{1+4k\csc A\sin B\sin C(\cot D-k\csc A\sin B\sin C)}}{2}a\\
&AE_3=BE_2-BE_1=\frac{-2\csc A\sin B\sin C+1+\sqrt{1+4k\csc A\sin B\sin C(\cot D-k\csc A\sin B\sin C)}}{2}a\\
&\triangle AEE_1\sim\triangle DAE_3\Rightarrow EE_1=\frac{DA}{AE}AE_3=\frac{1}{k-1}AE_3=\frac{-2\csc A\cos B\sin C+1+\sqrt{1+4k\csc A\sin B\sin C(\cot D-k\csc A\sin B\sin C)}}{2(k-1)}a\\
&\overline{BE}=BE_1-EE_1=\frac{2k\csc A\cos B\sin C-1-\sqrt{1+4k\csc A\sin B\sin C(\cot D-k\csc A\sin B\sin C)}}{2(k-1)}a\\
&\overline{EC}=CE_1+EE_1=\frac{2k\csc A\sin B\cos C-1+\sqrt{1+4k\csc A\sin B\sin C(\cot D-k\csc A\sin B\sin C)}}{2(k-1)}a
\end{align*}
另一组公式方法一样 aimisiyou可以写一下过程吗？看图没看出怎么做？
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