四边形ABCD为正方形，P为射线BC上-一动点， 连接PA、PD, 求PD/PA的最小值？
如图，四边形ABCD为正方形，P为射线BC上-一动点，连接PA、PD, 求PD/PA的最小值.我能想到的就是阿氏圆，以及微积分，别的办法呢？ 本帖最后由 nyy 于 2025-4-8 16:07 编辑
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
(*不妨假设正方形边长=1,取极值时,以AD两个点的阿氏圆与直线BC相切*)
AD=DA=1;
DO=OD=x;
R=1;(*阿氏圆半径*)
ans=Solve[{
(AD+DO)*DO==R^2,(*OA*OD=R^2,半径的平方*)
(AD+DO)/DO==k^2,(*OA/OD=k^2,比值的平方*)
x>0&&k>0(*限制变量范围*)
},{x,k}]//FullSimplify
aaa=(1/k)/.ans//FullSimplify
求解结果
\[\left\{\left\{x\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right),k\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{5}+1\right)\right\}\right\}\]
\[\left\{\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)\right\}\]
上面的关系式见
r^2=a*b
b/a=k^2
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=17109&pid=82830 本帖最后由 aimisiyou 于 2025-4-8 17:49 编辑
$$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$ 中学生最容易想到的应该是判别式法。
设BE=x, PD/PA=k<1，则\[
\frac{x^2+1}{(x+1)^2
+1}=k^2\]化为整式\[
(k^2-1)x^2+2k^2x+(2k^2-1)=0
\]k取极值时对应上述关于 x 的二次式的判别式为零，即\[
k^4-3k^2+1=0\\
→k^2+k-1=0
\]
运用阿氏圆容易得到比值最小的驻点条件：∠APD的平分线PE平行于正方形的对角线AC。
根据驻点性质易得 △ABP≌△DAF，于是PD/PA=黄金分割比0.618。
上传不上来。
先把这个位置占着
等有机会传上来
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