看到了mathe的百度空间。
真的都很对称，只是PARI画图有锯齿，不够养眼。
我打算在这年关 花点时间用Mathematica画出所有情况的大篇幅高清晰度图。
这个帖子，是我5天前才加精的。为何会这么晚？
因为我对该领域毫无发言权和评判权，
所以一直无法准确判定其讨论价值。
也许，是mathe自谦或避嫌而没加精，
但一个好帖子因此而失落，那多可惜！
所以，今后，管理人员尽可给自己的帖子加精等处理，
普通会员也可主动要求自己的帖子加精或被推荐，以吸引眼球，深化讨论，
无论是跟帖方式或发短消息给管理人员均可。
wayne将12～18棵树所有潜在最优解方程都求解了一次，存放在目录
https://blog.emath.ac.cn/shared/
其中解存放在一些文件 alln.m.out.txt 中，其中n代表树的数目,m代表行的数目不少于m.
并且对其中的解做了分类，比如 https://blog.emath.ac.cn/shared/all16.14.out.txt 中
第一部分
2 case(s) of Integer(rationals) solution
代表接下去两个解都是整数(或有理数)坐标.
第二部分
24 case(s) of complex(with nonzero imaginary part) solution
表示接下去有24中复数解（有坐标的虚部非零），不包含实数和有理数解
第三部分
21 case(s) of real(AlgebraicNumber n>=2) solution
表示接下去有21个实数解（不包含有理数解）
而比如all12.7.out.txt 中
第二部分为
2 case(s) of symbolic(Indeterminate) solution
代表接下去有两个还包含参数的解，所以解的类型还需要待定
第三部分为
1 case(s) of extraneous solution
代表接下去的是增根，可以不予考虑。
而每个解的格式如下
{12, 9, {1, 0, 0}, "ABCDAEFGAHIJBEHKBFILCEJLCGIKDFJKDGHL", {{"A", {0, 1, 0}}, {"B", {1, 0, 0}}, {"C", {1, 1 + (-1 - I*Sqrt)/2, 0}}, {"D", {1, (-1 - I*Sqrt)/2, 0}}, {"E", {0, 0, 1}}, {"F", {0, 1, 1}}, {"G", {0, (1 + I*Sqrt)/2, 1}}, {"H", {1, 0, 1}}, {"I", {1, 1, 1}}, {"J", {1, 1 + (-1 - I*Sqrt)/2, 1}}, {"K", {1 + (-1 - I*Sqrt)/2, 0, 1}}, {"L", {(1 + I*Sqrt)/2, 1, 1}}}}
其中第一个数字12代表12棵树，第二个数字9代表9行，接下去{1,0,0}分别代表是否复数解（非实数解），是否整数解，以及似乎不定方程（比如结果函数待定参数，无法确定解的类型）， 而后面"ABCDAEFGAHIJBEHKBFILCEJLCGIKDFJKDGHL"代表一组配置，描述了每行经过哪些树，最后给出各棵树的一组齐次坐标。
现在还遗漏一下问题：
1. 给定一组配置，有可能会产生多组解，需要验证它们在射影变换下是否等价
2. 对于那些不定方程解，需要确定是否包含整数解或实数解。
对于文件
https://blog.emath.ac.cn/shared/all12.7.out.txt
其两组不定方程解:
{12, 7, {0, 0, 1}, "ABIJACDKBEFLCGILDHJLEHIKFGJK", {{"A", {0, 1, 1}}, {"B", {1 - Fy, Fy, 1}}, {"C", {0, 0, 1}}, {"D", {0, 1, 0}}, {"E", {(-Fy + Ky)/Ky, Fy, 1}}, {"F", {-Fy + Ky, Fy, 1}}, {"G", {Ky, 0, 1}}, {"H", {1, -Ky, 0}}, {"I", {1, 0, 1}}, {"J", {1, -1, 0}}, {"K", {0, Ky, 1}}, {"L", {1, 0, 0}}}}
{12, 7, {0, 0, 1}, "AHIJBCHKBDILCEJLDGJKEFIKFGHL", {{"A", {1, Ay, 0}}, {"B", {0, 0, 1}}, {"C", {0, 1, 1}}, {"D", {Ey, 0, 1}}, {"E", {1 - Ey, Ey, 1}}, {"F", {1, Ey, 1}}, {"G", {1, -1 + Ey, 1}}, {"H", {0, 1, 0}}, {"I", {1, 0, 0}}, {"J", {1, -1, 0}}, {"K", {0, Ey, 1}}, {"L", {1, 0, 1}}}}
显然在参数Fy和Ey取有理数时，两者都是有理数，所以这两组解可以归入整数解。
文件all13.9.out.txt没有不定方程解
https://blog.emath.ac.cn/shared/all14.10.out.txt
含有14组不定方程解
14 case(s) of symbolic(Indeterminate) solution--------------------------------------------------------------------------------
{14, 10, {0, 0, 1}, "ABCDAEFGBEHICFJKCGLMDHJLDIKMEKLNFHMNGIJN", {{"A", {1/((1 - Ny)*Ny), (1 - Ny + Ny^2)/((-1 + Ny)*Ny), 1}}, {"B", {(-1 + Ny - Ny^2)/(-1 + Ny), Ny^2/(-1 + Ny), 1}}, {"C", {0, 1, 1}}, {"D", {1, 0, 1}}, {"E", {Ny/(-1 + Ny), Ny^2/(-1 + Ny), 1}}, {"F", {1, -1 + Ny, 0}}, {"G", {0, Ny/(-1 + Ny), 1}}, {"H", {1, 0, 0}}, {"I", {1, Ny^2/(-1 + Ny), 1}}, {"J", {(1 - Ny)^(-1), 0, 1}}, {"K", {1, Ny, 1}}, {"L", {0, 0, 1}}, {"M", {0, 1, 0}}, {"N", {1, Ny, 0}}}}， 显然有理解
{14, 10, {0, 0, 1}, "ABCNADEFBGHICJKLDGJMDHKNEGLNEIKMFHLMFIJN", {{"A", {Cx, (-1)^(1/3) - Cx, 1}}, {"B", {Cx, 0, 1}}, {"C", {Cx, 1 - Cx + (-1)^(1/3)*Cx, 1}}, {"D", {1, -1, 0}}, {"E", {1, -1 + (-1)^(1/3), 1}}, {"F", {0, (-1)^(1/3), 1}}, {"G", {1, 0, 1}}, {"H", {1, 0, 0}}, {"I", {0, 0, 1}}, {"J", {0, 1, 1}}, {"K", {1, -1 + (-1)^(1/3), 0}}, {"L", {1, (-1)^(1/3), 1}}, {"M", {1 - (-1)^(1/3), (-1)^(1/3), 1}}, {"N", {0, 1, 0}}}}，//（-1）^(1/3)取-1，Cx取有理数时应该是有理数解,还需要验证是否会出现比如五点共线等特殊情况
{14, 10, {0, 0, 1}, "ABCNADEFBGHICJKLDGJMDHKNEGLNEIKMFHLMFIJN", {{"A", {Cx, -(-1)^(2/3) - Cx, 1}}, {"B", {Cx, 0, 1}}, {"C", {Cx, 1 - Cx - (-1)^(2/3)*Cx, 1}}, {"D", {1, -1, 0}}, {"E", {1, -1 - (-1)^(2/3), 1}}, {"F", {0, -(-1)^(2/3), 1}}, {"G", {1, 0, 1}}, {"H", {1, 0, 0}}, {"I", {0, 0, 1}}, {"J", {0, 1, 1}}, {"K", {1, -1 - (-1)^(2/3), 0}}, {"L", {1, -(-1)^(2/3), 1}}, {"M", {1 + (-1)^(2/3), -(-1)^(2/3), 1}}, {"N", {0, 1, 0}}}}，//（-1）^(1/3)取-1，Cx取有理数时应该是有理数解，需要验证这时是否和上一个解等价
{14, 10, {0, 0, 1}, "ABDNAEFGBEHICFJKCGLMDHJLDIKMEKLNFHMNGIJN", {{"A", {-(My^2/(1 + My)), (1 + My + My^2)/(1 + My), 1}}, {"B", {0, 1, 1}}, {"C", {(-1 - My - My^2)/(1 + My), My, 1}}, {"D", {1, 0, 1}}, {"E", {0, 1, 0}}, {"F", {-(My^2/(1 + My)), My^2/(1 + My), 1}}, {"G", {-(My^2/(1 + My)), My, 1}}, {"H", {0, 0, 1}}, {"I", {0, My/(1 + My), 1}}, {"J", {My/(1 + My), 0, 1}}, {"K", {1, -(My/(1 + My)), 0}}, {"L", {1, 0, 0}}, {"M", {-My, My, 1}}, {"N", {1, -1, 0}}}} //My有理数时时有理数解
{14, 10, {0, 0, 1}, "ABMNAEFGBEHICFJMCGKNDHKMDIJNEJKLFHLNGILM", {{"A", {0, 0, 1}}, {"B", {0, 1, 1}}, {"C", {Ly/(1 + 2*Ly), -(Ly^2/(1 + 2*Ly)), 1}}, {"D", {(1 + Ly)/(1 + 2*Ly), (-1 - Ly - Ly^2)/(1 + 2*Ly), 1}}, {"E", {1, 0, 1}}, {"F", {1, 0, 0}}, {"G", {Ly/(1 + 2*Ly), 0, 1}}, {"H", {1, -1, 0}}, {"I", {(1 + Ly)/(1 + 2*Ly), Ly/(1 + 2*Ly), 1}}, {"J", {(1 + Ly)/(1 + 2*Ly), -(Ly^2/(1 + 2*Ly)), 1}}, {"K", {Ly/(1 + 2*Ly), (-Ly - Ly^2)/(1 + 2*Ly), 1}}, {"L", {1, Ly, 0}}, {"M", {0, -(Ly^2/(1 + 2*Ly)), 1}}, {"N", {0, 1, 0}}}} //Ly是有理数时为有理数解。
{14, 10, {0, 0, 1}, "ACDEAFGHBCIJBFKLCFMNDGIKDHJMEHKNEILMGJLN", {{"A", {1, 0, 1}}, {"B", {-1 + Lx, (3 - Lx - Sqrt)/2, 1}}, {"C", {1, -1, 0}}, {"D", {0, 1, 1}}, {"E", {Lx, 1 - Lx, 1}}, {"F", {1, 0, 0}}, {"G", {Lx + Lx/(1 + Lx + Sqrt) - Lx^2/(1 + Lx + Sqrt) - (Lx*Sqrt)/(1 + Lx + Sqrt), 0, 1}}, {"H", {0, 0, 1}}, {"I", {Lx, (1 - Lx - Sqrt)/2, 1}}, {"J", {0, (1 + Lx - Sqrt)/2, 1}}, {"K", {(-Lx + Lx^2 + Lx*Sqrt)/(1 + Lx + Sqrt), (3 - Lx - Sqrt)/2, 1}}, {"L", {Lx, (3 - Lx - Sqrt)/2, 1}}, {"M", {0, 1, 0}}, {"N", {1, (-3/2 + Lx/2 + Sqrt/2)/(Lx/(1 + Lx + Sqrt) - Lx^2/(1 + Lx + Sqrt) - (Lx*Sqrt)/(1 + Lx + Sqrt)), 0}}}} // 5-2Lx+Lx^2是平方数时为有理数解，比如Lx=5/2时
{14, 10, {0, 0, 1}, "ACDEAFGHBCIJBFKLCFMNDGIKDHJMEHKNEILMGJLN", {{"A", {1, 0, 1}}, {"B", {-1 + Lx, (3 - Lx + Sqrt)/2, 1}}, {"C", {1, -1, 0}}, {"D", {0, 1, 1}}, {"E", {Lx, 1 - Lx, 1}}, {"F", {1, 0, 0}}, {"G", {Lx - Lx/(-1 - Lx + Sqrt) + Lx^2/(-1 - Lx + Sqrt) - (Lx*Sqrt)/(-1 - Lx + Sqrt), 0, 1}}, {"H", {0, 0, 1}}, {"I", {Lx, (1 - Lx + Sqrt)/2, 1}}, {"J", {0, (1 + Lx + Sqrt)/2, 1}}, {"K", {(Lx - Lx^2 + Lx*Sqrt)/(-1 - Lx + Sqrt), (3 - Lx + Sqrt)/2, 1}}, {"L", {Lx, (3 - Lx + Sqrt)/2, 1}}, {"M", {0, 1, 0}}, {"N", {1, (-3/2 + Lx/2 - Sqrt/2)/(-(Lx/(-1 - Lx + Sqrt)) + Lx^2/(-1 - Lx + Sqrt) - (Lx*Sqrt)/(-1 - Lx + Sqrt)), 0}}}} //5-2Lx+Lx^2是平方数时是有理解，比如Lx=5/2
{14, 10, {0, 0, 1}, "ACDEBCFGBHINCJKNDFLNDHJMEGMNEHKLFIKMGIJL", {{"A", {0, 1, 1}}, {"B", {2, 0, 1}}, {"C", {0, 0, 1}}, {"D", {0, 1, 0}}, {"E", {0, -Ny, 1}}, {"F", {1, 0, 0}}, {"G", {1, 0, 1}}, {"H", {1/2, (-3*Ny)/2, 1}}, {"I", {3/2, -Ny/2, 1}}, {"J", {1/2, Ny/2, 1}}, {"K", {-1/2, -Ny/2, 1}}, {"L", {1, -Ny, 0}}, {"M", {1/2, -Ny/2, 1}}, {"N", {1, Ny, 0}}}}//Nv是有理数时为有理解
{14, 10, {0, 0, 1}, "ADEFBCMNBGHICJKLDGJMDHKNEGLNEIKMFHLMFIJN", {{"A", {Ax, (3 + (3*I)*Sqrt - (2*I)*Sqrt*Ax)/6, 1}}, {"B", {0, 0, 1}}, {"C", {0, 1, 1}}, {"D", {1, (-I)/Sqrt, 0}}, {"E", {(1 - I*Sqrt)/2, I/Sqrt, 1}}, {"F", {1, 1/2 + (I/2)/Sqrt, 1}}, {"G", {(1 - I*Sqrt)/2, 0, 1}}, {"H", {1, 0, 0}}, {"I", {1, 0, 1}}, {"J", {1, (3 - I*Sqrt)/6, 1}}, {"K", {1, -1/2 - (I/2)/Sqrt, 0}}, {"L", {(1 - I*Sqrt)/2, 1/2 + (I/2)/Sqrt, 1}}, {"M", {0, (3 + I*Sqrt)/6, 1}}, {"N", {0, 1, 0}}}}//不是实数解，直线BGHI,中，B,H,I都是有理点，但是G不是实数点
{14, 10, {0, 0, 1}, "ADEFBCMNBGHICJKLDGJMDHKNEGLNEIKMFHLMFIJN", {{"A", {Ax, (3 - (3*I)*Sqrt + (2*I)*Sqrt*Ax)/6, 1}}, {"B", {0, 0, 1}}, {"C", {0, 1, 1}}, {"D", {1, I/Sqrt, 0}}, {"E", {(1 + I*Sqrt)/2, (-I)/Sqrt, 1}}, {"F", {1, 1/2 - (I/2)/Sqrt, 1}}, {"G", {(1 + I*Sqrt)/2, 0, 1}}, {"H", {1, 0, 0}}, {"I", {1, 0, 1}}, {"J", {1, (3 + I*Sqrt)/6, 1}}, {"K", {1, -1/2 + (I/2)/Sqrt, 0}}, {"L", {(1 + I*Sqrt)/2, 1/2 - (I/2)/Sqrt, 1}}, {"M", {0, (3 - I*Sqrt)/6, 1}}, {"N", {0, 1, 0}}}}//不是实数解，直线BGHI,中，B,H,I都是有理点，但是G不是实数点
{14, 10, {0, 0, 1}, "AEFGAHIMBEHJBFKNCEMNCIKLDGKMDIJNFJLMGHLN", {{"A", {0, 0, 1}}, {"B", {(1 + Ny)/Ny, 2 + Ny, 1}}, {"C", {1, Ny/2, 0}}, {"D", {-Ny^(-1), -1 - Ny, 1}}, {"E", {0, 1, 0}}, {"F", {0, 1, 1}}, {"G", {0, -1 - Ny, 1}}, {"H", {(1 + Ny)/Ny, 0, 1}}, {"I", {1, 0, 1}}, {"J", {(1 + Ny)/Ny, 1, 1}}, {"K", {(-2 - Ny)/Ny, -1 - Ny, 1}}, {"L", {(2 + Ny)/Ny, 1, 1}}, {"M", {1, 0, 0}}, {"N", {1, Ny, 0}}}}//Ny有理数时为有理解
{14, 10, {0, 0, 1}, "AEFGBELMBHINCFLNCHJMDGMNDHKLEJKNFIKMGIJL", {{"A", {1, Ay, 0}}, {"B", {0, 1/2, 1}}, {"C", {1, 0, 1}}, {"D", {1, 1/2, 1}}, {"E", {0, 1, 0}}, {"F", {1, 0, 0}}, {"G", {1, -1/2, 0}}, {"H", {2/3, 1/3, 1}}, {"I", {-2, 1, 1}}, {"J", {2, -1, 1}}, {"K", {2, 1, 1}}, {"L", {0, 0, 1}}, {"M", {0, 1, 1}}, {"N", {2, 0, 1}}}}//Ay有理数时为有理解
{14, 10, {0, 0, 1}, "AEFMAGHNBEINBGJMCIKMCJLNDFKNDHLMEGKLFHIJ", {{"A", {0, 1, 1}}, {"B", {1, 0, 0}}, {"C", {(1 + 2*Ly)/Ly, -1, 1}}, {"D", {-Ly, 1 + 2*Ly, 1}}, {"E", {0, 0, 1}}, {"F", {0, (1 + 2*Ly)/(1 + Ly), 1}}, {"G", {1, -1, 0}}, {"H", {-Ly, 1 + Ly, 1}}, {"I", {(1 + 2*Ly)/Ly, 0, 1}}, {"J", {1, -(Ly/(1 + Ly)), 0}}, {"K", {(1 + 2*Ly)/Ly, (-1 - 2*Ly)/Ly, 1}}, {"L", {-Ly, Ly, 1}}, {"M", {0, 1, 0}}, {"N", {1, 0, 1}}}}//Ly有理数时为有理解
{14, 10, {0, 0, 1}, "AEFMAGHNBEINBGJMCIKMCJLNDFKNDHLMEHJKFGIL", {{"A", {0, 0, 1}}, {"B", {1, (-1 + Ky)/Ky, 0}}, {"C", {Ky^(-1), (-1 + 2*Ky)/Ky, 1}}, {"D", {1 - Ky, Ky, 1}}, {"E", {0, 1, 0}}, {"F", {0, Ky, 1}}, {"G", {-(Ky/(-1 + Ky)), 0, 1}}, {"H", {1, 0, 1}}, {"I", {1, -1 + Ky, 0}}, {"J", {1, (-1 + 2*Ky)/Ky, 1}}, {"K", {1, Ky, 1}}, {"L", {(1 - Ky)/Ky, (-1 + 2*Ky)/Ky, 1}}, {"M", {0, 1, 1}}, {"N", {1, 0, 0}}}}//Ky有理数时为有理解
现在还遗漏一下问题：
1. 给定一组配置，有可能会产生多组解，需要验证它们在射影变换下是否等价
2. 对于那些不定方程解，需要确定是否包含整数解或实数解。
我发现，对于第二问，Mathematica是能确定不定方程 是否存在有理数解的，只是解的表达式带有庞大的If判断。
可以只判断不输出，或者输出一个特解
我看到
https://blog.emath.ac.cn/shared/all17.15.out.txt
中有17棵树16行的symbolic Integer(rationals) solution
能把结果做出来吗？我们验证一下。以前估计错认为只能是实数解了，没有归入整数解。
A172992现在的结果也是只能15行。
发现问题了，其中17棵16行symbolic Integer(rationals) solution应该四组，
但是每组里面都包含一个完全平方式相反数开根号，所以如果有理解，只能完全平方式取0，这种特殊情况很可能会是非法解。
比如第一个
{17, 16, {0, 1, 1}, "ABCDAEHKAFJLAGIMDGHNCIKNBEMNCEJODFKOBHLOBFIPCGLPDJMPEFGQHIJQKLMQ", {{"A", {1, (-1 - Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2] - Ox - (4*Ox)/(-1 - Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2] + Ox) + (4*Ox^2)/(-1 - Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2] + Ox))/2, 0}}, {"B", {Ox + (2*Ox)/(-1 - Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2] + Ox) - (2*Ox^2)/(-1 - Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2] + Ox), 2*(-(Ox/(-1 - Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2] + Ox)) + Ox^2/(-1 - Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2] + Ox)), 1}}, {"C", {0, 0, 1}}, {"D", {Ox, -Ox - (2*Ox)/(-1 - Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2] + Ox) + (2*Ox^2)/(-1 - Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2] + Ox), 1}}, {"E", {1, 0, 0}}, {"F", {Ox, (1 + Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2] - Ox)/2, 1}}, {"G", {(-1 - Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2] + Ox - (4*Ox)/(-1 - Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2] + Ox) + (4*Ox^2)/(-1 - Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2] + Ox))/2, (1 + Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2] - Ox)/2, 1}}, {"H", {1, -1, 0}}, {"I", {0, 1, 1}}, {"J", {1, 0, 1}}, {"K", {0, 1, 0}}, {"L", {(1 - Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2] + Ox)/2, (-1 + Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2] + Ox)/2, 1}}, {"M", {(1 - Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2] + Ox)/2, 2*(-(Ox/(-1 - Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2] + Ox)) + Ox^2/(-1 - Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2] + Ox)), 1}}, {"N", {0, (2*(-Ox + Ox^2))/(-1 - Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2] + Ox), 1}}, {"O", {Ox, 0, 1}}, {"P", {Ox + Sqrt*Ox*Sqrt[-1 + 2*Ox - Ox^2] - Ox/(2*(1 - 3*Ox + 3*Ox^2)) - (Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2]*Ox)/(2*(1 - 3*Ox + 3*Ox^2)) + (2*Ox^2)/(1 - 3*Ox + 3*Ox^2) + (5*Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2]*Ox^2)/(2*(1 - 3*Ox + 3*Ox^2)) - (3*Ox^3)/(2*(1 - 3*Ox + 3*Ox^2)) - (3*Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2]*Ox^3)/(1 - 3*Ox + 3*Ox^2), (-Ox - Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2]*Ox + Ox^2 + 2*Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2]*Ox^2)/(2*(1 - 3*Ox + 3*Ox^2)), 1}}, {"Q", {(1 - Sqrt*Sqrt[-(-1 + Ox)^2] + Ox)/2, (1 - Ox + Sqrt*Sqrt[-1 + 2*Ox - Ox^2])/2, 1}}}}
只能取参数Ox=1, 由于分母出现0的非法情况，需要分析在$Ox\to 1$时的极限值，而这时A的y坐标其实是虚数。
现在还遗漏一下问题：
1. 给定一组配置，有可能会产生多组解，需要验证它们在射影变换下是否等价
2. 对于那些不定方程解，需要确定是否包含整数解或实数解。
对于第一问，我想咨询一下，程序返回的约束条件和约束方程组是通过什么标准生成的，还不足以判断射影的等价性吗