mathe 发表于 2014-5-7 20:48
我们可以分析球面和质点之间的引力，设球面半径为r，质点到球心距离为R.然后我们将球面用一些垂直于质点球 ...
此种解法为最妙。实际上用球面坐标解之更简单。
这个其实等价于 静电学里出现的 高斯定理
又叫奥高公式，高斯散度定理。
矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分
内部时最后一步算错了，应该是同R成正比。
mathe 发表于 2014-5-7 21:43
经计算质量为M的球面对质点m的引力为\(\displaystyle \frac{GmM}{2r}\int_{-r}^r\frac{R-h}{(R^2+r^2-2Rh)^ ...
用一个二阶积分积出均匀球壳对内部点的引力确实为0所以可以只考虑质点到球心距离了外边体积都可以不管了
分别计算均匀球壳的引力还有一个好处是得出对于那些不均匀的球体，只要密度只同深度相关（也就是不同地点同样深度的密度相同），那么还是同样球心可以作为引力中心。
比如现实中大部分星球应该都是近似这样的。就像地球，地核和地幔处密度应该完全不同，但是相同深度处密度应该是近似相同的