论坛 › 难题征解 › 2^p≡1 mod(p^2-p+1) → (p^2-p+1)是素数

hujunhua 发表于 2010-2-10 00:58:49

2^p≡1 mod(p^2-p+1) → (p^2-p+1)是素数

2^n -=1 mod(n^2-n+1) => (n^2-n+1)是素数.

我只验证到n<=1100, 机器比较破啦，往后就算不下去了。好像证明起来也不难，只是一时没理清头绪，有空了要试一试。不会谁给我砸个反例出来吧，呵呵。

mathe 发表于 2010-2-10 08:58:33

这个应该是不成立的，只是要找反例比较难而已，毕竟找到满足上面同余类的p的数目也不会太多

medie2005 发表于 2010-2-10 09:17:30

n=2940, n^2-n+1=8640661
2^2940=1 mod 8640661
8640661=31*211*1321

hujunhua 发表于 2010-2-10 10:40:03

谢谢Mathe和Medie2005.
漏条件了，准确地说，n是方程2^x=1 mod(n^2-n+1)的最小正数解，则n^2-n+1是素数。

不过，即使这样，我也倾向于不成立。略为改进程序后，搜到n<=10^6以内，没反例。但正如Mathe所说，满足方程的正面例子也十分稀少,10^6以内也只有
n,                      m
2                     3
3                     7
9                  73
25                601
91            8191
513      262657

Medie2005得到的“反例”在10^6以内是唯一的。

hujunhua 发表于 2010-2-11 15:58:17

今天验算了一下才发现（91，8191）和（513，262657）也不是正面例子, 虽然8191和262657都是素数。但是
13才是$2^x=1 mod(8191)$的最小解
27才是$2^x=1 mod(262657)$的最小解

mathematica 发表于 2012-8-3 08:25:20

有点意思

mathematica 发表于 2012-8-28 09:07:27

找一个能产生都是素数的有效公式，还是比较难的=======

ysr 发表于 2012-8-29 21:06:46

mathematica 发表于 2012-8-30 08:44:13

我只知道lucas序列能这么干！！！！！！！

云梦 发表于 2012-8-30 14:34:05

素数公式（包含所有素数，不含合数）永远是找不到的，事实上也根本不存在。现所有素数公式都只是素数全部的一部分。因为没有一个公式能精确地给出每一个素数。

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