一道形式比较优美的数论证明题,1^n+2^n+…+(p-1)^n=0 (mod p)
数学中国以前有一片帖子是说1^n+2^n+…+(p-1)^n=0(mod p)其中，p是素数，n不是p-1的倍数。当n是负整数的时候也成立。该性质很奇特吧，谁会证。 素数p总有\varphi (p-1)个原根，任取一个原根g构造剩余系，并记h\equiv g^n, 立得左边\equiv 1+h+h^2+...+h^(p-2)\equiv {h^(p-1)-1}/{h-1}\equiv 0 (mod p) 没太看明白楼上的证明，这里是对前m项的n次方求和，不是等比数列求和啊。 那就是你还不太懂“原根”这个概念及其应用。帮你搜了一下，可以去看看豆丁网的一个共享文档：
http://www.docin.com/p-1676986.html#documentinfo
阅读的时候请注意，很多地方的“七”应该是斜体希腊字母δ，表示指数。可能是字符集不同的缘故。 n是负数的时候怎么证明？ 2#的证明适用于n是负数的情况啊。 n为负整数的时候（(p-1)!|(-n)）也是成立的，2#的证明是普适的。 2+1/12=0（mod5）？
不对吧？
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25/12 =0 mod 5 当 n=-1 时，那是“模逆”，而不是简单的“倒数”。
比如说 $3^(-1)=1/3-=(1+5)/3=2 (mod 5)$
此时左边=1+3+2+4=10 本帖最后由 Lwins_G 于 2013-10-25 21:24 编辑
以下同余式均在F_p上进行.
由有限域上的代数基本定理知道当p \nmid n时总存在p \nmid t, t^n \nequiv 1.
令S=1^n+2^n+\cdots+(p-1)^n,
则 t^n S = (1t)^n+(2t)^n + \cdots + ((p-1)t)^n \equiv 1^n+2^n+\cdots+(p-1)^n = S.
这导致 (t^n-1)S \equiv 0 \rightarrow S \equiv 0.
补充内容 (2013-11-2 00:49):
笔误，p \nmid n应改为 p - 1 \nmid n。
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