本因坊算帐 发表于 2010-2-26 11:05:03

一道优美的关于自然数集的证明题

求证：
任给自然数集M，必存在M的子集N，满足：
1）N的元素个数不少于M的1/3
2）N中任一数不等于其余两数之和 （即：不存在N的三元素a，b，c ，满足 a=b+c，这里b和c可以重复）

本因坊算帐 发表于 2010-2-26 11:45:41

这道题目是已故数学家 张筑生 出的一道高中数学竞赛题目

〇〇 发表于 2010-2-26 15:48:29

没有看懂

qianyb 发表于 2010-2-26 15:57:10

本帖最后由 qianyb 于 2010-2-26 17:05 编辑

我想他的意思就是N中的任意数不等于N中另外两个数的和
对于任意自然数M存在N序列1,3,5,7,9,11,13...N-3,N-1(N为小于M的最大偶数)的个数不少于M的1/3的个数

本因坊算帐 发表于 2010-2-26 16:18:56

4# qianyb

题目基本就是你说的这样，我编辑修改了一下，尽量叙述的清楚一些

只是呼吸 发表于 2010-2-26 22:38:35

本因坊的帐都不好算哦。

gxqcn 发表于 2010-2-27 15:32:11

当M中奇数个数超过1/3，
或被3除余1的元素个数超过1/3，
或被3除余2的元素个数超过1/3，
则可以满足要求。其它情形尚未考虑。

以上抛砖引玉，仅供参考，请大家勿受此误导。

本因坊算帐 发表于 2010-2-27 16:45:55

当M中奇数个数超过1/3，
或被3除余1的元素个数超过1/3，
或被3除余2的元素个数超过1/3，
则可以满足要求。其它情形尚未考虑。

以上抛砖引玉，仅供参考，请大家勿受此误导。
gxqcn 发表于 2010-2-27 15:32 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif

和原证明的思路很接近了~~

本因坊算帐 发表于 2010-3-11 10:26:28

原证明是这样的：

1）证明形如3N+2的素数有无限多个（用反证法容易得出）

2）因而存在素数P=3n+2，P和M中元素都互素

3）证明在1到P-1中，存在自然数k，使得M中元素每个都乘以k并对P取模，至少有 M/3个落在 n+1 到 2n+1 之间（包括n+1和2n+1）。那么，这些数中任一个不可表示为其余两个之和

gxqcn 发表于 2010-3-11 10:51:04

为什么必须用3n+2型素数，用3n+1型的不行吗？
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