数学星空 发表于 2010-3-20 22:19:03

不等式之五

Let a,b,c,d be positive real numbers,Prove that

{a^2-bd}/{b+2c+d}+{b^2-ac}/{c+2d+a}+{c^2-db}/{d+2a+b}+{d^2-ac}/{a+2b+c}>=0

数学星空 发表于 2010-3-20 22:20:22

注：此不等式也出自于越南的一位不等式大师之手！

本因坊算帐 发表于 2010-3-20 22:56:32

记
a+c=2s
b+d=2t
则
2{(a^2-bd)/(b+2c+d)+(b^2-ac)/(c+2d+a)+(c^2-db)/(d+2a+b)+(d^2-ac)/(a+2b+c)}

>=(a^2-t^2)/(c+t)+(b^2-s^2)/(d+s)+(c^2-t^2)/(a+t)+(d^2-s^2)/(b+s)

={(a^2-t^2)/(c+t)+t-c}+{(b^2-s^2)/(d+s)+s-d}+{(c^2-t^2)/(a+t)+t-a}+{(d^2-s^2)/(b+s)+s-b}

=(a^2-c^2)/(c+t)+(b^2-d^2)/(d+s)+(c^2-a^2)/(a+t)+(d^2-b^2)/(b+s)

={(a^2-c^2)/(c+t)+(c^2-a^2)/(a+t)}+{(b^2-d^2)/(d+s)+(d^2-b^2)/(b+s)}

={(a+c)(a-c)^2}/{(c+t)(a+t)}+{(b+d)(b-d)^2}/{(d+s)(b+s)}

>=0

数学星空 发表于 2010-3-21 08:45:22

现提供大师的解法（显然没有楼上的简洁）

wiley 发表于 2010-3-24 12:53:53

本帖最后由 wiley 于 2010-3-24 12:56 编辑

3# 本因坊算帐
nice proof!
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