最佳的下注策略(2)
Fans和Fans的Fans都是绝顶聪明的。他们在玩一个赌博游戏。
这个游戏很简单。
就是每局系统给两人各随机一个$RP$值。
该$RP$值的范围是$0$到$1$，且在$$中均匀分布。
然后两人必须先在桌面上各押$1$块钱的注作为底注。
规则$1$：
每次总是Fans先叫注。
Fans可以选择加注或者不加注。
加注数额可以是任意正实数。
然后轮到Fans的Fans作决定。
Fans的Fans可以选择跟注、加注或者放弃。
如果Fans的Fans加注，则再次轮到Fans作决定。
此时Fans也是选择跟注、加注或放弃。
一旦有人放弃，则桌面上的钱归另一人所有。
一方加注后，如果对方选择跟注，则比较双方$RP$值的大小。
$RP$值大的一方赢得桌面上的钱。
该游戏共进行$N$局，$N->\infty$。
问题$1$：
（该问题讨论先叫注有利还是后叫注有利）
Fans是否存在一个策略，使得无论Fans的Fans采用何种策略，她的期望收益都是负的？
或者
Fans的Fans是否存在一个策略，使得无论Fans采用何种策略，他的期望收益都是负的？
规则$2$：
与规则$1$的不同之处是先抛一枚硬币，抛到正面则Fans先叫注，否则Fans的Fans先叫注。
问题$2$：
（该问题讨论双方状况完全相同时所采用的策略）
Fans要使得期望收益非负，应该采用什么样的策略？
或者
Fans的Fans要使得期望收益非负，应该采用什么样的策略？
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更多游戏正在设计中，欢迎提供素材。要求游戏规则比较简单，决策是连续量，分析最佳策略的过程比较有趣。 每一局连续加注次数是否有限制?(比如说考虑实际模型，那么就是每个人拥有的初始资金是有限的）
不然存在双方都一直无限押注的情况。 或者，我们可以要求存在一个第三方，在双方任何一方加注以后，第三方可以随机（以一个固定小概率p)提出对方必须跟注从而立刻终止加注过程 这个题目使我联想起了2006年2月的ibm ponder this，这里的问题相对比较简化。
http://domino.research.ibm.com/Comm/wwwr_ponder.nsf/Challenges/February2006.html
题目的游戏规则如下：
F和Ff都先出1元放桌上，然后各自领取一个0-1平均分布的随机数RP。
然后由F决定，二选一：
1、要么摊牌：比RP大小，RP大的将桌上的2元拿走，游戏结束。
2、要么加码：再在桌上放1元钱，这时桌上有3元了。
这时由Ff决定，也是二选一：
1、要么放弃：不比大小，直接认输，由F拿走3元，游戏结束。
2、要么跟随：也再在桌上放1元钱，然后比RP大小，RP大的将桌上的4元拿走，游戏结束。
结论是：这个游戏是对F有利的。
那么F应该用什么策略呢？
因为Ff也和F一样绝顶的聪明，看到了游戏对自己不利，因此不大愿意玩。后来F每次游戏给Ff一定的出场费，使得双方收益恰好平衡。那么出场费是多少呢？ 对比Fans过去题目风格，感觉fans要变成Fans_Fans_Fans了
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