差分方程的z变换解
本帖最后由 wayne 于 2010-5-26 10:43 编辑p_{n+1}=14p_n+9q_n
q_{n+1}=3p_n+2q_n
求上述方程的解，其中p_0=1,q_0=0。希望写出详细过程，我推导了一下，总感觉不正确，原因是delta为一平方数，可能是符号有问题。谢谢了！ wayne能否给出上述方程的解，我解出
q_n=(11^n-5^n)/2,但是不对啊！其中得到
Q(z)=3z/(z^2-16z+55),不知错在哪里？ $q(n)= k/(4k-6)*(((14 * k - 9) / k) ^ n - ((2 * k + 9) / k) ^ n)$
$p(n)=(14+3k)^n-k*q(n)$
其中$k=sqrt(7)-2$ 将k代入，化简得：
$q(n)=( (8+sqrt(63))^n- (8-sqrt(63) )^n)/(2*sqrt(7))$ 2# wsc810
设Z{p(n)}= p(z),Z{q(n)}=q(z)
那么，原方程经过z变换后为
z(p(z)-p(0))=14p(z)+9q(z)
z(q(z)-q(0))=3p(z)+2q(z)
代入初始值，解此方程得
p(z)=\frac{(-2+z) z}{1-16 z+z^2}
q(z)=\frac{3 z}{1-16 z+z^2}
再进行z反变换即可
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更简单的方法是，把方程组转化成二阶差分方程要：
q_{n+2}-2q_{n+1}=14(q_{n+1}-2q_n)+27q_n
即：q_{n+2}-16q_{n+1}+q_n=0
接下来，就不说了 本帖最后由 056254628 于 2010-5-28 19:57 编辑
对于以下类型的双递推公式求解，一般方法是：
$p(n+1)=a_1*p(n)+b_1*q(n)$ 式1
$ q(n+1)=a_2*p(n)+b_2*q(n)$ 式2
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式1+式2*k得：
$p(n+1)+k*q(n+1)=(a_1+k*a_2)*p(n)+(b_1+k*b_2)*q(n)$
若 $1/k=(a_1+k*a_2)/(b_1+k*b_2)$ 即$a_2*k^2+(a_1-b_2)*k-b_1=0$
那么 $p(n+1)+k*q(n+1)$就是以$a_1+k*a_2$为等比的数列
那么 $p(n)+k*q(n) =(p(0)+k*q(0))*(a_1+k*a_2)^n$
即 $p(n)=(p(0)+k*q(0))*(a_1+k*a_2)^n-k*q(n)$ 式3
将式3代入式2，消去数列p(n)，得到以下形的数列递推公式：
$a(n+1)=e*a(n)+f*g^n$ e、f、g都是常数
而该递推公式是非常容易解的。
$a(n)=e^n*a(0)+(f/(e-g))*(e^n-g^n)$
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